https://wodolei.ru/catalog/vodonagrevateli/nakopitelnye-30/ploskie/
Из
отрывков, которые древние свидетельства приписывают Филолаю, мы видим, что
пифагорейцы уже в V в. до н.э. размышляли над вопросом о возможности
познания и сформулировали положение, впоследствии ставшее кардинальным для
математического естествознания, а именно: точное знание возможно лишь на
основе математики. Вот слова, приписываемые Филолаю (Стобей Ecl. I prooem.
cor. 3): "Ибо природа числа есть то, что дает познание, направляет и
научает каждого относительно всего, что для него сомнительно и неизвестно.
В самом деле, если бы не было числа и его сущности, то ни для кого не было
бы ничего ясного ни в вещах самих по себе, ни в их отношениях друг к
другу"51. В этом фрагменте сформулирован тот принцип познания, который лег
в основу первой математической "программы". То, в чем не обнаруживается
"природа числа", не может быть предметом познания. То, что не содержит в
себе числа, является, по Филолаю, беспредельным, а беспредельное
непознаваемо.
Эти пифагорейские представления о математическом фундаменте научного знания
получили в IV в. до н.э. теоретическое обоснование и весьма четкое
выражение в сочинениях Платона. У Платона же мы находим изложение
пифагорейского учения о числовых пропорциях геометрических величин, а также
систематизацию различных областей математического знания, соединение их в
единую систему наук. Развитие пифагорейской научной мысли в IV в. до н.э.
оказывается тесно связанным именно с Платоном и его школой. Крупнейший
математик-пифагореец Архит из Тарента был другом Платона, ученик Архита
Евдокс Книдский был связан с Академией и, по преданию, одно время учился у
Платона.
Поэтому рассмотрение пифагорейской математики IV в. до н.э., так же как и
более детальный анализ учения о гармонии, мы будем вести, опираясь, помимо
других источников, на тексты Платона. Платон в своих диалогах часто дает
разъяснение математических понятий - может быть, наиболее близкое духу
пифагореизма.
Однако предварительно необходимо ввести в рассмотрение еще ряд аспектов
математического мышления пифагорейцев, чтобы выяснить направление
дальнейшей эволюции понятия науки в античности.
Числа и вещи
От Аристотеля мы получаем свидетельство о том, что пифагорейцы не проводили
принципиального различия между числами и вещами. "Во всяком случае, -
говорит Аристотель, - у них, по-видимому, число принимается за начало и в
качестве материи для вещей, и в качестве <выражения для> их состояний и
свойств..."52. Сами числа они еще не полностью отделяют от чувственных
вещей и поэтому еще близки к натурфилософам в своем отношении к
чувственному бытию53.
Относительно онтологического статуса числа у пифагорейцев Аристотель
сообщает следующее: "...пифагорейцы признают одно - математическое - число,
только не с отдельным бытием, но, по их словам, чувственные сущности
состоят из этого числа: ибо все небо они устраивают из чисел, только у них
это - не числа, состоящие из <отвлеченных> единиц, но единицам они
приписывают <пространственную> величину; а как получилась величина у
первого единого, это, по-видимому, вызывает затруднение у них" (курсив мой.
- П.Г.)54.
Пространственные вещи у пифагорейцев состоят из чисел. А это, в свою
очередь, возможно в том случае, если, как и подчеркивает Аристотель, числа
имеют некоторую величину, так что могут мыслиться занимающими пространство.
И не в том смысле, что то или иное число можно изобразить в качестве
геометрической фигуры - как, например, 4 - это площадь квадрата со
стороной, равной 2, а именно в том смысле, что само число, как единица,
двойка, тройка и т.д., пространственно, а значит, тело состоит,
складывается из чисел55.
Но в таком случае единицы, или монады, пифагорейцев естественно предстают
как телесные единицы, и не случайно пифагореец Экфант, по сообщению Аэтия,
"первый объявил пифагорейские монады телесными"56.
При этом единицы, или монады, должны быть неделимыми - это их важнейший
атрибут, без которого они не могли бы быть первыми началами всего сущего.
То, что пифагорейцы действительно мыслили числа как неделимые единицы, из
которых составлены тела, можно заключить из следующей полемики с ними
Аристотеля: "То, что они (пифагорейцы. - П.Г.) не приписывают числу
отдельного существования, устраняет много невозможных последствий; но что
тела у них составлены из чисел и что число здесь математическое, это - вещь
невозможная. Ведь и говорить о неделимых величинах неправильно, и <даже>
если бы это было допустимо в какой угодно степени, во всяком случае единицы
величины не имеют, а с другой стороны, как возможно, чтобы пространственная
величина слагалась из неделимых частей? Но арифметическое число во всяком
случае состоит из <отвлеченных> единиц; между тем они говорят, что числа -
это вещи; по крайней мере, математические положения они прилагают к телам,
как будто тела состоят из этих чисел" (курсив мой. - П.Г.)57.
В пифагорейском понимании числа, таким образом, оказываются связанными два
момента: неотделенность чисел от вещей и соответственно составленность
вещей из неделимых единиц - чисел58. Если судить по приведенным отрывкам,
то пифагорейская математика, по меньшей мере в какой-то период или у
некоторых ее представителей, имела в качестве своего методологического
фундамента математически-логический атомизм, при котором числа
рассматривались как геометрические точки с определенным положением в
пространстве.
К такому выводу относительно пифагорейской математики приходит известный
историк математики Оскар Беккер. "У истоков греческой математики, - пишет
он, - вероятно, начиная еще с VI века, обнаруживается своеобразный способ
рассмотрения, который можно охарактеризовать как полуарифметический -
полугеометрический. Он состоит в использовании камешков (fэjoi) одинаковой
величины и формы (круглых и квадратных), которыми выкладываются фигуры"59.
Действительно, трудно найти этому методу построения фигур из чисел-камешков
однозначную характеристику; Г.Г. Цейтен называет его "геометрической
арифметикой"60. Видимо, этот метод предполагает допущение, что тела состоят
из множества такого рода точечных единиц-монад. При этом, как сообщает
Аристотель, единица (monРj) рассматривалась пифагорейцами как точка, не
наделенная особым положением (stigmh НJetoV), а точка (stigmя) - как
единица, имеющая положение (monНV JЪsin Ьcousa)61.
Открытие
несоизмеримости
Трудно установить, кем и когда была открыта несоизмеримость, но это
открытие сыграло важную роль в становлении математики как теоретической
науки, ибо вызвало целый переворот в математическом мышлении и заставило
пересмотреть многие из представлений, которые вначале казались само собой
разумеющимися62.
Следует заметить, однако, что открытие несоизмеримости могло иметь место
только там и тогда, где и когда уже возникли основные контуры математики
как связной теоретической системы мышления. Ведь только тогда может
возникнуть удивление, что дело обстоит не так, как следовало ожидать, если
уже есть представление о том, как должно обстоять дело. Не случайно
открытие несоизмеримости принадлежит именно грекам, хотя задачи на
извлечение квадратных корней, в том числе и EMBED Equation.2 ,
решались уже в древневавилонской математике, составлялись таблицы
приближенных значений корней. По-видимому, открытие несоизмеримости было
сделано именно потому, что пифагорейцы с энтузиазмом искали подтверждения
главного тезиса их учения "все есть число".
Можно допустить, что пифагорейцы обнаружили несоизмеримость при попытке
либо арифметически определить такую дробь, квадрат которой равен 2 (т.е.
арифметически вычислить сторону квадрата, площадь которого равна 2); либо
геометрически при отыскании общей меры стороны и диагонали квадрата; либо,
наконец, в теории музыки, пытаясь разделить октаву пополам, т.е. найти
среднее геометрическое между 1 и 2. В любом случае задача предстала перед
ними в виде отыскания величины, квадрат которой равен 263.
Несоизмеримость диагонали квадрата со стороной, т.е. иррациональность
EMBED Equation.2 , пифагорейцы доказывали, опираясь на главную, с их
точки зрения, "онтологическую" характеристику чисел, а именно на деление их
на четные и нечетные; доказательство велось от противного: если допустить
соизмеримость диагонали и стороны, то придется признать нечетное число
равным четному64. Признанию несоизмеримости, однако, предшествовали,
по-видимому, попытки преодолеть возникшее затруднение, ибо обнаружение
невыразимости в числах отношения диагонали к стороне квадрата наносило удар
по основному убеждению пифагорейцев, что "все есть число". Открытие
иррациональности, т.е. отношений, не выражаемых <целыми> числами, вызвало,
видимо, первый кризис оснований математики и нанесло удар по философии
пифагорейцев. Ибо целое число - КriJm"V - лежало, согласно Пифагору и его
последователям, в основе мироздания; поэтому все пропорции в мире должны
были быть выразимы в целых числах. Эта - исторически первая - теория чисел
теперь оказалась поставленной под вопрос.
Однако удар, нанесенный раннепифагорейской концепции числа, отнюдь не
отменил математической "программы" изучения природы, а только внес в эту
программу свои коррективы.
Видимо, последствием открытия иррациональности было усиление тенденции к
геометризации математики; появилось стремление геометрически выразить
отношения, которые, как оказалось, невыразимы с помощью арифметического
числа.
Вместо геометрической арифметики теперь развивается "геометрическая
алгебра": величины изображаются через отрезки и прямоугольники, с помощью
которых можно было соотносить между собой не только рациональные числа, но
и несоизмеримые величины.
Надо полагать, что переход к геометрической алгебре сопровождался также и
размышлением по поводу самих оснований пифагорейской математики. Может
быть, именно открытие несоизмеримости впервые поставило под вопрос
первоначальную пифагорейскую интуицию, что тела состоят из неделимых
точек-монад.
Попытки справиться с несоизмеримостью в конце концов привели к формулировке
аксиомы Евдокса (ее называют также аксиомой Архимеда), которая легла в
основу теории отношений несоизмеримых величин. Эта аксиома приводится
Евклидом в четвертом определении V книги "Начал": "Говорят, что величины
имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг
друга". А вот как формулирует Архимед эту аксиому в работе "О шаре и
цилиндре" (пятое допущение, или постулат Архимеда): "...б(льшая из двух
неравных линий, поверхностей или тел превосходит меньшую на такую величину,
которая, будучи складываема сама с собой, может превзойти любую заданную
величину из тех, которые могут друг с другом находиться в определенном
отношении"65.
Нам представляется, однако, что общее значение открытия иррациональности
для развития и математики, и науки в целом не исчерпывается указанными
последствиями, хотя внешне выражается прежде всего в них.
Дело в том, что это открытие впервые, быть может, заставило рождающуюся
греческую науку сознательно задуматься о своих предпосылках. Ведь те
понятия числа, точки, фигуры и т.д., которыми оперировали пифагорейцы
первоначально, еще не были логически прояснены и продуманы. Именно в этом,
кстати, упрекают пифагорейцев и Платон, и (еще больше) Аристотель. В самом
деле, числа у них не отделены от вещей, говорит Аристотель. Но ведь и
нельзя сказать, чтобы они у них сознательно и обоснованно отождествлялись с
вещами! Вопрос об онтологическом статусе чисел в этом плане просто не
возникал, а потому здесь и царила некоторая непроясненность,
неопределенность. Далее, Аристотель говорит, что у пифагорейцев фигуры
состоят из чисел, как из неделимых пространственных единиц. Но и здесь мы
имеем дело с такой же первоначальной непроясненностью: число выступает то
как единица, не отнесенная к пространству, к чувственному миру, то как
неделимая частица самого этого мира - такова у пифагорейцев точка. Ибо
именно так предстает пифагорейцу-математику единица, когда он дает
"полуарифметическое - полугеометрическое" (по словам Беккера) начертание
"тройки" (рис. 2) и "десятки" (рис. 5).
Открытие несоизмеримости стало первым толчком к осознанию оснований
математического исследования, к попытке не только найти новые методы работы
с величинами, но и понять, что такое величина.
Однако во весь рост проблему континуума перед философами и математиками
поставил Зенон из Элеи, выявив противоречия, связанные с понятием
бесконечности, и после него невозможно было вернуться к прежнему,
дорефлексивному оперированию математическими понятиями. Благодаря элеатам
началась логическая работа над исходными понятиями науки - напряженная
работа на протяжении V, IV и III вв. до н.э., завершившаяся созданием трех
главных программ научного исследования: математической, атомистической и
континуалистской.
Характерно, однако, что на всем протяжении этого бурного периода в развитии
философии и науки - с V по III в. до н.э. - можно выделить как бы два
направления философско-теоретической работы. Одно из них представлено теми
философами и учеными, которые прежде всего заняты проблемами обоснования
науки и логического уяснения и разработки ее понятий и методов. К нему
принадлежат Зенон, Демокрит, Платон, Аристотель, Теофраст и др. Другое
направление представлено в первую очередь математиками-"практиками" -
такими, как Архит Терентский, Евдокс Книдский, Менехм, Теэтет. Хотя эти
ученые отнюдь не чужды вопросам обоснования науки и глубоко проникнуты
заботой о логической четкости своих построений, но центр тяжести их
исследований лежит в другом: они конструируют модели движения небесных
светил, ищут способы решения математических задач, прибегая к помощи
циркуля и линейки, и не всегда ставят вопрос о логическом обосновании своих
методов.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
отрывков, которые древние свидетельства приписывают Филолаю, мы видим, что
пифагорейцы уже в V в. до н.э. размышляли над вопросом о возможности
познания и сформулировали положение, впоследствии ставшее кардинальным для
математического естествознания, а именно: точное знание возможно лишь на
основе математики. Вот слова, приписываемые Филолаю (Стобей Ecl. I prooem.
cor. 3): "Ибо природа числа есть то, что дает познание, направляет и
научает каждого относительно всего, что для него сомнительно и неизвестно.
В самом деле, если бы не было числа и его сущности, то ни для кого не было
бы ничего ясного ни в вещах самих по себе, ни в их отношениях друг к
другу"51. В этом фрагменте сформулирован тот принцип познания, который лег
в основу первой математической "программы". То, в чем не обнаруживается
"природа числа", не может быть предметом познания. То, что не содержит в
себе числа, является, по Филолаю, беспредельным, а беспредельное
непознаваемо.
Эти пифагорейские представления о математическом фундаменте научного знания
получили в IV в. до н.э. теоретическое обоснование и весьма четкое
выражение в сочинениях Платона. У Платона же мы находим изложение
пифагорейского учения о числовых пропорциях геометрических величин, а также
систематизацию различных областей математического знания, соединение их в
единую систему наук. Развитие пифагорейской научной мысли в IV в. до н.э.
оказывается тесно связанным именно с Платоном и его школой. Крупнейший
математик-пифагореец Архит из Тарента был другом Платона, ученик Архита
Евдокс Книдский был связан с Академией и, по преданию, одно время учился у
Платона.
Поэтому рассмотрение пифагорейской математики IV в. до н.э., так же как и
более детальный анализ учения о гармонии, мы будем вести, опираясь, помимо
других источников, на тексты Платона. Платон в своих диалогах часто дает
разъяснение математических понятий - может быть, наиболее близкое духу
пифагореизма.
Однако предварительно необходимо ввести в рассмотрение еще ряд аспектов
математического мышления пифагорейцев, чтобы выяснить направление
дальнейшей эволюции понятия науки в античности.
Числа и вещи
От Аристотеля мы получаем свидетельство о том, что пифагорейцы не проводили
принципиального различия между числами и вещами. "Во всяком случае, -
говорит Аристотель, - у них, по-видимому, число принимается за начало и в
качестве материи для вещей, и в качестве <выражения для> их состояний и
свойств..."52. Сами числа они еще не полностью отделяют от чувственных
вещей и поэтому еще близки к натурфилософам в своем отношении к
чувственному бытию53.
Относительно онтологического статуса числа у пифагорейцев Аристотель
сообщает следующее: "...пифагорейцы признают одно - математическое - число,
только не с отдельным бытием, но, по их словам, чувственные сущности
состоят из этого числа: ибо все небо они устраивают из чисел, только у них
это - не числа, состоящие из <отвлеченных> единиц, но единицам они
приписывают <пространственную> величину; а как получилась величина у
первого единого, это, по-видимому, вызывает затруднение у них" (курсив мой.
- П.Г.)54.
Пространственные вещи у пифагорейцев состоят из чисел. А это, в свою
очередь, возможно в том случае, если, как и подчеркивает Аристотель, числа
имеют некоторую величину, так что могут мыслиться занимающими пространство.
И не в том смысле, что то или иное число можно изобразить в качестве
геометрической фигуры - как, например, 4 - это площадь квадрата со
стороной, равной 2, а именно в том смысле, что само число, как единица,
двойка, тройка и т.д., пространственно, а значит, тело состоит,
складывается из чисел55.
Но в таком случае единицы, или монады, пифагорейцев естественно предстают
как телесные единицы, и не случайно пифагореец Экфант, по сообщению Аэтия,
"первый объявил пифагорейские монады телесными"56.
При этом единицы, или монады, должны быть неделимыми - это их важнейший
атрибут, без которого они не могли бы быть первыми началами всего сущего.
То, что пифагорейцы действительно мыслили числа как неделимые единицы, из
которых составлены тела, можно заключить из следующей полемики с ними
Аристотеля: "То, что они (пифагорейцы. - П.Г.) не приписывают числу
отдельного существования, устраняет много невозможных последствий; но что
тела у них составлены из чисел и что число здесь математическое, это - вещь
невозможная. Ведь и говорить о неделимых величинах неправильно, и <даже>
если бы это было допустимо в какой угодно степени, во всяком случае единицы
величины не имеют, а с другой стороны, как возможно, чтобы пространственная
величина слагалась из неделимых частей? Но арифметическое число во всяком
случае состоит из <отвлеченных> единиц; между тем они говорят, что числа -
это вещи; по крайней мере, математические положения они прилагают к телам,
как будто тела состоят из этих чисел" (курсив мой. - П.Г.)57.
В пифагорейском понимании числа, таким образом, оказываются связанными два
момента: неотделенность чисел от вещей и соответственно составленность
вещей из неделимых единиц - чисел58. Если судить по приведенным отрывкам,
то пифагорейская математика, по меньшей мере в какой-то период или у
некоторых ее представителей, имела в качестве своего методологического
фундамента математически-логический атомизм, при котором числа
рассматривались как геометрические точки с определенным положением в
пространстве.
К такому выводу относительно пифагорейской математики приходит известный
историк математики Оскар Беккер. "У истоков греческой математики, - пишет
он, - вероятно, начиная еще с VI века, обнаруживается своеобразный способ
рассмотрения, который можно охарактеризовать как полуарифметический -
полугеометрический. Он состоит в использовании камешков (fэjoi) одинаковой
величины и формы (круглых и квадратных), которыми выкладываются фигуры"59.
Действительно, трудно найти этому методу построения фигур из чисел-камешков
однозначную характеристику; Г.Г. Цейтен называет его "геометрической
арифметикой"60. Видимо, этот метод предполагает допущение, что тела состоят
из множества такого рода точечных единиц-монад. При этом, как сообщает
Аристотель, единица (monРj) рассматривалась пифагорейцами как точка, не
наделенная особым положением (stigmh НJetoV), а точка (stigmя) - как
единица, имеющая положение (monНV JЪsin Ьcousa)61.
Открытие
несоизмеримости
Трудно установить, кем и когда была открыта несоизмеримость, но это
открытие сыграло важную роль в становлении математики как теоретической
науки, ибо вызвало целый переворот в математическом мышлении и заставило
пересмотреть многие из представлений, которые вначале казались само собой
разумеющимися62.
Следует заметить, однако, что открытие несоизмеримости могло иметь место
только там и тогда, где и когда уже возникли основные контуры математики
как связной теоретической системы мышления. Ведь только тогда может
возникнуть удивление, что дело обстоит не так, как следовало ожидать, если
уже есть представление о том, как должно обстоять дело. Не случайно
открытие несоизмеримости принадлежит именно грекам, хотя задачи на
извлечение квадратных корней, в том числе и EMBED Equation.2 ,
решались уже в древневавилонской математике, составлялись таблицы
приближенных значений корней. По-видимому, открытие несоизмеримости было
сделано именно потому, что пифагорейцы с энтузиазмом искали подтверждения
главного тезиса их учения "все есть число".
Можно допустить, что пифагорейцы обнаружили несоизмеримость при попытке
либо арифметически определить такую дробь, квадрат которой равен 2 (т.е.
арифметически вычислить сторону квадрата, площадь которого равна 2); либо
геометрически при отыскании общей меры стороны и диагонали квадрата; либо,
наконец, в теории музыки, пытаясь разделить октаву пополам, т.е. найти
среднее геометрическое между 1 и 2. В любом случае задача предстала перед
ними в виде отыскания величины, квадрат которой равен 263.
Несоизмеримость диагонали квадрата со стороной, т.е. иррациональность
EMBED Equation.2 , пифагорейцы доказывали, опираясь на главную, с их
точки зрения, "онтологическую" характеристику чисел, а именно на деление их
на четные и нечетные; доказательство велось от противного: если допустить
соизмеримость диагонали и стороны, то придется признать нечетное число
равным четному64. Признанию несоизмеримости, однако, предшествовали,
по-видимому, попытки преодолеть возникшее затруднение, ибо обнаружение
невыразимости в числах отношения диагонали к стороне квадрата наносило удар
по основному убеждению пифагорейцев, что "все есть число". Открытие
иррациональности, т.е. отношений, не выражаемых <целыми> числами, вызвало,
видимо, первый кризис оснований математики и нанесло удар по философии
пифагорейцев. Ибо целое число - КriJm"V - лежало, согласно Пифагору и его
последователям, в основе мироздания; поэтому все пропорции в мире должны
были быть выразимы в целых числах. Эта - исторически первая - теория чисел
теперь оказалась поставленной под вопрос.
Однако удар, нанесенный раннепифагорейской концепции числа, отнюдь не
отменил математической "программы" изучения природы, а только внес в эту
программу свои коррективы.
Видимо, последствием открытия иррациональности было усиление тенденции к
геометризации математики; появилось стремление геометрически выразить
отношения, которые, как оказалось, невыразимы с помощью арифметического
числа.
Вместо геометрической арифметики теперь развивается "геометрическая
алгебра": величины изображаются через отрезки и прямоугольники, с помощью
которых можно было соотносить между собой не только рациональные числа, но
и несоизмеримые величины.
Надо полагать, что переход к геометрической алгебре сопровождался также и
размышлением по поводу самих оснований пифагорейской математики. Может
быть, именно открытие несоизмеримости впервые поставило под вопрос
первоначальную пифагорейскую интуицию, что тела состоят из неделимых
точек-монад.
Попытки справиться с несоизмеримостью в конце концов привели к формулировке
аксиомы Евдокса (ее называют также аксиомой Архимеда), которая легла в
основу теории отношений несоизмеримых величин. Эта аксиома приводится
Евклидом в четвертом определении V книги "Начал": "Говорят, что величины
имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг
друга". А вот как формулирует Архимед эту аксиому в работе "О шаре и
цилиндре" (пятое допущение, или постулат Архимеда): "...б(льшая из двух
неравных линий, поверхностей или тел превосходит меньшую на такую величину,
которая, будучи складываема сама с собой, может превзойти любую заданную
величину из тех, которые могут друг с другом находиться в определенном
отношении"65.
Нам представляется, однако, что общее значение открытия иррациональности
для развития и математики, и науки в целом не исчерпывается указанными
последствиями, хотя внешне выражается прежде всего в них.
Дело в том, что это открытие впервые, быть может, заставило рождающуюся
греческую науку сознательно задуматься о своих предпосылках. Ведь те
понятия числа, точки, фигуры и т.д., которыми оперировали пифагорейцы
первоначально, еще не были логически прояснены и продуманы. Именно в этом,
кстати, упрекают пифагорейцев и Платон, и (еще больше) Аристотель. В самом
деле, числа у них не отделены от вещей, говорит Аристотель. Но ведь и
нельзя сказать, чтобы они у них сознательно и обоснованно отождествлялись с
вещами! Вопрос об онтологическом статусе чисел в этом плане просто не
возникал, а потому здесь и царила некоторая непроясненность,
неопределенность. Далее, Аристотель говорит, что у пифагорейцев фигуры
состоят из чисел, как из неделимых пространственных единиц. Но и здесь мы
имеем дело с такой же первоначальной непроясненностью: число выступает то
как единица, не отнесенная к пространству, к чувственному миру, то как
неделимая частица самого этого мира - такова у пифагорейцев точка. Ибо
именно так предстает пифагорейцу-математику единица, когда он дает
"полуарифметическое - полугеометрическое" (по словам Беккера) начертание
"тройки" (рис. 2) и "десятки" (рис. 5).
Открытие несоизмеримости стало первым толчком к осознанию оснований
математического исследования, к попытке не только найти новые методы работы
с величинами, но и понять, что такое величина.
Однако во весь рост проблему континуума перед философами и математиками
поставил Зенон из Элеи, выявив противоречия, связанные с понятием
бесконечности, и после него невозможно было вернуться к прежнему,
дорефлексивному оперированию математическими понятиями. Благодаря элеатам
началась логическая работа над исходными понятиями науки - напряженная
работа на протяжении V, IV и III вв. до н.э., завершившаяся созданием трех
главных программ научного исследования: математической, атомистической и
континуалистской.
Характерно, однако, что на всем протяжении этого бурного периода в развитии
философии и науки - с V по III в. до н.э. - можно выделить как бы два
направления философско-теоретической работы. Одно из них представлено теми
философами и учеными, которые прежде всего заняты проблемами обоснования
науки и логического уяснения и разработки ее понятий и методов. К нему
принадлежат Зенон, Демокрит, Платон, Аристотель, Теофраст и др. Другое
направление представлено в первую очередь математиками-"практиками" -
такими, как Архит Терентский, Евдокс Книдский, Менехм, Теэтет. Хотя эти
ученые отнюдь не чужды вопросам обоснования науки и глубоко проникнуты
заботой о логической четкости своих построений, но центр тяжести их
исследований лежит в другом: они конструируют модели движения небесных
светил, ищут способы решения математических задач, прибегая к помощи
циркуля и линейки, и не всегда ставят вопрос о логическом обосновании своих
методов.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52