д.) всегда можно взять среднюю точку. И
как бы "близко" ни были расположены эти две точки, они никогда не могут
мыслиться без посредника между ними: посредничество - бесконечно, ибо
бесконечна делимость.
Аристотелевское учение о непрерывности имеет также непосредственный выход в
математику.
Принцип непрерывности Аристотеля и метод исчерпывания Евдокса
Принцип непрерывности сыграл важную роль в античной математике. Он был
введен в математику старшим современником Аристотеля Евдоксом в виде так
называемой аксиомы непрерывности, которая стала известна как "аксиома
Архимеда", поскольку Архимед указывает ее в числе своих постулатов. Вот как
формулирует ее Архимед: "Требования <постулаты>. Я принимаю следующее...
Что из неравных линий и неравных площадей и неравных тел большее
превосходит меньшее на такую величину, которая, будучи прибавляема к самой
себе, может стать больше, чем любая заданная величина из тех, которые
сравнимы между собой". У Архимеда речь идет о величинах одного измерения,
которые могут быть сравнимы, т.е. могут находиться в отношениях друг к
другу. Эту же аксиому мы находим среди определений V книги "Начал" Евклида,
в которой он излагает теорию отношений Евдокса.
Четвертое определение V книги "Начал" гласит: "Говорят, что величины имеют
отношение между собой, если они, взятые кратко, могут превзойти друг
друга". Как подчеркивает В. Вилейтнер, в этом определении, данном Евклидом,
содержится нечто большее, чем в приведенном выше постулате Архимеда:
"Евклид подобно Архимеду также имеет в виду однородные величины, но вместе
с тем он высказывает нечто большее. Во-первых, Евклид стремится при помощи
своего определения дать возможность находиться в "отношении" также и таким
величинам, которые не имеют общей меры (несоизмеримы)... Во-вторых, Евклид
хочет лишить права находиться в отношении "бесконечно малые" и "бесконечно
большие" образы, как, например, введенные уже древними философами
(Демокрит) последние частицы (атомы, неделимые) отрезка или же всю
бесконечную прямую". Первый момент, о котором говорит Вилейтнер,
подразумевается также и в аксиоме Архимеда; видимо, то большее, что
заключено в евклидовом (т.е., собственно, евдоксовом) определении, сводится
ко второму моменту.
Рассмотрим последовательно каждый из этих моментов. Что касается первого,
то действительно одна из главных задач, возникших перед Евдоксом после
открытия несоизмеримости, состояла в том, чтобы найти способ установления
отношения также и для несоизмеримых величин. До открытия несоизмеримости
математики рассматривали отношения между числами (соизмеримыми величинами).
Для соизмеримых величин, а и b, отношение которых было равно рациональной
дроби  EMBED Equation.2 
, равенство отношений выражалось пропорцией
a/b = m/n,
т.е. соотношением: na = mb. Иначе говоря, пока отношения выражались целыми
числами, для определения отношения двух величин нужно было меньшую взять
столько раз, сколько необходимо для того, чтобы она сравнялась с большей.
Но для несоизмеримых величин этот способ уже не годится: ибо отношения
между ними невозможно выразить в виде пропорции, члены которой будут
рациональными числами. Чтобы все же иметь возможность устанавливать
отношения несоизмеримых величин, Евдокс предложил такой выход: если для
двух величин а и b, где a > b, можно подобрать такое число n, чтобы меньшая
величина, взятая n раз, превзошла большую, т.е. чтобы было справедливо
неравенство nb > a, то величины а и b находятся между собой в некотором
отношении. В противном же случае можно утверждать, что они не находятся ни
в каком отношении. Аксиома Евдокса делала возможным оперирование также и с
несоизмеримыми величинами и тем самым позволяла если не совсем преодолеть,
то по крайней мере в работе математика нейтрализовать затруднения,
порожденные открытием несоизмеримости.
Греческим математикам были известны так называемые роговидные углы, т.е.
углы, образованные окружностью и касательной к ней (или же двумя кривыми).
Но криволинейные и прямолинейные углы, хотя они и принадлежат к одному роду
величин (углам), не находятся между собой ни в каком отношении, ибо для них
не имеет силы аксиома Евдокса: роговидный угол всегда будет меньше любого
прямолинейного угла. Иначе говоря, "роговидные углы по отношению к любому
прямолинейному являются актуальными бесконечно малыми, или неархимедовыми
величинами"; именно эти величины исключаются аксиомой Евдокса.
Как видим, Евдокс вводит аксиому непрерывности для решения затруднений,
вызванных парадоксом несоизмеримости; аналогичную роль принцип
непрерывности играет и в физике Аристотеля; с его помощью Аристотель хочет
преодолеть парадоксы Зенона, препятствующие всякой попытке построить теорию
движения - физику. Вот как формулирует Аристотель евдоксову аксиому
непрерывности, недвусмысленно показывая, что альтернативой ее будет
парадокс Зенона "Дихотомия": "Если, взявши от конечной величины
определенную часть, снова взять ее в той же пропорции, т.е. не ту же самую
величину, которая взята от целого, то конечную величину нельзя пройти до
конца, если же настолько увеличивать пропорцию, чтобы брать всегда одну и
ту же величину, то пройти можно, так как конечную величину всегда можно
исчерпать любой определенной величиной".
Рассмотрим теперь, что имеет в виду Вилейтнер, говоря о втором моменте,
содержащемся в аксиоме Евдокса: "Евклид хочет лишить права находиться в
отношении "бесконечно малые" и "бесконечно большие" образы". Относительно
"бесконечно малых" мы уже приводили пример роговидных углов, которые не
могут находиться в отношении с прямолинейными. Но аксиома Евдокса, что
нетрудно видеть, не будет иметь силы также и по отношению к бесконечно
большой величине, ибо тогда неравенство nb > a не может быть справедливым;
число n предполагается ведь сколь угодно большим, но конечным числом.
Очевидно, что аксиома Евдокса оказывается непосредственно связанной с
проблемой бесконечного; и решение этой проблемы именно в духе Евдокса мы
находим опять-таки у Аристотеля.
Таким образом, аристотелевская физика, построенная на основе принципа
непрерывности, внутренне связана с математическим мышлением, как оно
воплотилось в "Началах" Евклида; этим и объясняется отчасти то
обстоятельство, что принцип непрерывности Аристотеля не был отменен и в
механике нового времени; и только в связи с открытием неевклидовых
геометрий возникла возможность пересмотра этого принципа. Правда, уже после
открытия исчисления бесконечно малых понадобилось кое-что откорректировать
как в принципе непрерывности Аристотеля, так и в аксиоме непрерывности
Евдокса; однако эти коррективы самой непрерывности не отменили.
При рассмотрении аристотелевского принципа непрерывности мы уже говорили о
проблеме бесконечности, однако эта философская проблема нуждается в
специальном анализе.
Понятие бесконечного
Приступая к анализу понятия бесконечности, Аристотель предупреждает, что
здесь приходится ходить по очень зыбкой почве, постоянно рискуя
натолкнуться на парадоксы и противоречия: ибо "много невозможного следует и
за отрицанием его (бесконечного. - П.Г.) существования и за признанием".
Но, несмотря на эти затруднения, возникающие при рассмотрении бесконечного,
физика, так же как и математика, по мысли Аристотеля, не может обойтись без
такого рассмотрения. "А что бесконечное существует, - пишет Аристотель, -
уверенность в этом скорее всего возникает у исследователей из пяти
оснований: из времени (ибо оно бесконечно), из разделения величин (ведь и
математики пользуются бесконечным); далее, что только таким образом не
иссякнут возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда
берется возникающее. Далее, из того, что конечное всегда граничит с
чем-нибудь, так что необходимо, чтобы не было никакого предела, раз
необходимо, чтобы одно всегда граничило с другим. Но больше всего и главнее
всего - что доставляет для всех затруднение - на том основании, что
мышление не останавливается: и число кажется бесконечным, и математические
величины, и то что лежит за небом: а если лежащее за небом бесконечно, то
кажется бесконечным тело и существует множество миров..." (курсив мой. -
П.Г.) Однако в вопросе о бесконечном, говорит Аристотель, доверять мышлению
нельзя, поэтому ко всем перечисленным основаниям, побуждающим принять
бесконечное, надо подойти критически, внимательно рассмотрев возможные
следствия из каждого допущения относительно бесконечного.
Как обычно, Аристотель начинает исследование с критики платоновского и
пифагорейского понятий бесконечного. И Платон, и пифагорейцы рассматривают
бесконечное как сущность, а не свойство, не предикат чего-нибудь другого. В
отличие от них натурфилософы считают бесконечное предикатом природных
элементов, в зависимости от того, какой элемент каждый из них принимает за
первоначало - воду, воздух или огонь. Аристотель не соглашается признать
бесконечное ни сущностью, ни предикатом (сущности). Характерно его
возражение против платоновско-пифагорейской трактовки бесконечного как
сущности: если принять, что бесконечное является сущностью, то оно должно
мыслиться как неделимое. "...Если бесконечное - сущность и не относится к
какому-нибудь подлежащему, - говорит Аристотель, - то "быть бесконечным" и
"бесконечность" - одно и то же, следовательно, оно или неделимо, или делимо
на бесконечности, а быть одному и тому же предмету многими бесконечными
невозможно. Однако если оно сущность и начало, то как часть воздуха
остается воздухом, так и часть бесконечного - бесконечным. Следовательно,
оно неразделимо и неделимо. Однако невозможно бесконечному существовать
актуально, ведь ему необходимо быть количеством. Бесконечное,
следовательно, существует по совпадению... Поэтому нелепости утверждают те,
которые говорят так же, как пифагорейцы: они одновременно делают
бесконечное сущностью и делят его на части".
Аристотель считает, что платоники и пифагорейцы, рассматривая бесконечное
как "сущность", должны мыслить его как нечто неделимое, а тем самым как
актуально-бесконечное. Как же аргументирует Аристотель недопустимость
мыслить бесконечное как актуальное? Он говорит, что в этом случае
невозможно объяснить такой "вид" бесконечного, как время и величина (а тем
самым и движение), которые являются, по его выражению, "количествами". Что
же представляет собой этот вид бесконечного? В чем его отличие от
актуально-бесконечного? В том, что, "будучи проходимо по природе", это
бесконечное не имеет конца прохождения или предела. Это бесконечное
потенциально, бесконечное в возможности, а не в действительности,
осуществляемое, а не осуществленное, незавершенное и не могущее быть
никогда завершенным. В этом смысле Аристотель, явно полемизируя с
платониками, говорит, что бесконечное - это "не то, вне чего ничего нет, а
то, вне чего всегда есть что-нибудь".
Потенциально-бесконечное существует как экстенсивно- или
интенсивно-бесконечное, т.е. "или в результате сложения, или в результате
деления, или того и другого вместе". Отличие потенциально-бесконечного от
актуально-бесконечного состоит в том, что первое в сущности всегда имеет
дело с конечным и есть не что иное, как беспредельное движение по
конечному; каждый раз, имеем ли мы дело с экстенсивной бесконечностью,
например в процессе счета, или с интенсивной (в результате деления
определенного отрезка), мы каждый раз получаем как угодно малую, но всегда
конечную величину. Здесь принцип непрерывности оказывается принципом
потенциальной бесконечности. "Вообще говоря, - пишет Аристотель, -
бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, и
взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным... Притом для
величины это происходит с сохранением взятого, для времени и людей - вместе
с их уничтожением, так, однако, чтобы не было перерыва".
Как понять смысл последнего замечания? В чем отличие величины от "времени и
людей"? Это отличие Аристотель видит в том, что если величина, получаемая в
результате деления, сохраняет в себе как бы "в снятом виде" пройденные
этапы, становясь все меньше и меньше, то время, протекшее до настоящего
момента, исчезает, не сохраняясь. Характерно, однако, что в этом последнем
смысле, как говорит Аристотель, "бесконечное будет актуальным". Это
замечание может ввести в заблуждение, если не принять во внимание оговорки
Аристотеля, что "бесконечное как энтелехия" (т.е. осуществленное и в этом
смысле актуальное) существует по совпадению; другими словами, актуальным
будет "день или состязание", а не само бесконечное.
Итак, отвечая на вопрос о том, существует ли бесконечное, Аристотель
формулирует один из кардинальных тезисов своей научной программы:
бесконечное существует потенциально, но не существует актуально. Иначе
говоря, бесконечное не пребывает как нечто законченное, а всегда
становится, возникает; оно не есть что-то действительное, а только
возможное. Но отсюда с очевидностью следует, что бесконечное для Аристотеля
есть материя, ибо именно материя определяется им с самого начала как
возможность. "Бесконечное есть материя для завершенности величины и целое в
потенции, а не актуально, оно делимо и путем отнятия и путем обращенного
прибавления, а целым и ограниченным является не само по себе, а по-другому;
и поскольку оно бесконечно, не охватывает, а охватывается".
Хотя Аристотель и полемизирует с Платоном и пифагорейцами относительно
логического и онтологического статуса бесконечного, тем не менее, определяя
бесконечное как нечто неопределенное (ибо материя сама по себе, без формы,
есть нечто неопределенное), он остается на почве характерной для греков, в
том числе и для Платона, "боязни бесконечного".
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52