Приведем еще одно разъяснение Прокла. "Возможность провести прямую из любой
точки в любую точку вытекает из того, что линия есть течение точки, и
прямая - равнонаправленное (gleichgerichtete) и не отклоняющееся течение.
Представим, следовательно, себе, что точка совершает равнонаправленное и
кратчайшее движение; тогда мы достигнем другой точки, и первое требование
выполнено без всякого сложного мыслительного процесса с нашей стороны".
Вот, стало быть, что означает, согласно Проклу, первый постулат Евклида:
это простейший акт представления того, как движется точка. Простейший, не
требующий от нас особых усилий. Но если не нужно особых усилий, чтобы
представить себе (а представление, образ относятся к сфере становления -
сравни у Спевсиппа), как движется точка, то нужно сделать большое усилие,
чтобы понять, где же, в какой стихии эта точка движется и что такое она
сама. Может быть, это шарик, катящийся по столу? Или кусок мела, который
движется по доске? Но они - не точки, а чувственные вещи. Может быть, точка
- это идея? Но идея не может двигаться, она не причастна миру становления,
в котором только и может иметь место движение. Что же такое точка и где то
место, в каком она движется?
Прокл отвечает на этот вопрос так: "Но если бы у кого-нибудь возникли
затруднения относительно того, как мы вносим движение в неподвижный
геометрический мир и как мы движем то, что не имеет частей (а именно точку)
- ибо это ведь совершенно немыслимо, то мы попросим его не слишком
огорчаться... Мы должны представлять движение не телесно, а в воображении
(kЕnhsiV fantastikя); и мы не можем признать, что не имеющее частей (точка)
подвержено телесному движению, скорее оно подлежит движениям фантазии. Ибо
неделимый ум (noаV) движется, хотя и не способом перемещения; также и
фантазия, соответственно своему неделимому бытию, имеет свое собственное
движение".
Таким образом, движение геометрической точки совершается не в
умопостигаемом мире, но и не в мире телесном; оно совершается в
воображаемом мире: точка движется в фантазии. Такое название у Прокла
получила способность, которая, согласно Платону, подобна сну. И в прямом
соответствии с утверждением Платона, что чертежи на песке представляют
собой только чувственные подобия геометрических фигур, Прокл далее говорит
о том, что телесное движение карандаша по бумаге есть лишь телесный аналог,
телесный образ движения бестелесной точки по бестелесной "бумаге" -
пространству, т.е. движение, совершаемое в фантазии.
Промежуточная способность теперь названа "фантазией", а промежуточное бытие
- "интеллигибельной материей". Нам думается, что хотя термины эти
принадлежат Проклу, но онтологический статус объектов геометрии определен
им вполне в духе философии математики Платона. Если позиция Спевсиппа в
некоторых пунктах и не вполне совпадала с платоновской, то в
рассматриваемом вопросе она, как нам кажется, весьма близка к платоновской.
Теперь к вопросу о линейке и циркуле: видимо, Платон признавал эти
инструменты подходящими только для того, чтобы представить нашему
"телесному зрению" те фигуры, которые мы реально "порождаем" в фантазии;
чертежи на песке или на бумаге казались ему чем-то вроде "вторых подобий" -
так же, как и произведения искусства. Почему вторых? Потому что даже
движение точки в фантазии есть нечто вторичное, оно предполагает материю,
хотя и "интеллигибельную"; а движение стилета по восковой дощечке есть уже
чувственное подобие движения точки в фантазии.
Исходя из сказанного, можно сделать следующий важный вывод: древнегреческая
наука принципиально не могла последовательно провести мысль о том, что
геометрический объект - точка - движется в материальном мире. Даже у
Архимеда и Герона еще не было той формы связи между механикой и геометрией,
какая возникла только в эпоху Возрождения и благодаря которой стало
возможным совсем новое истолкование математической программы античности.
Иерархия математических наук
Мы выяснили, в чем Платон видел различие между числами и геометрическими
фигурами. Понятно, что различие в онтологическом статусе арифметических и
геометрических объектов должно обусловливать, согласно Платону, также и
познавательную значимость этих двух математических наук. Арифметика поэтому
является первой в ряду наук и наиболее логически обоснованной. Что касается
геометрии, то она не имеет строго логического обоснования, ибо ее элементы
нуждаются для своего обоснования также в "интеллигибельной материи" -
пространстве. Для геометрии наглядность ("созерцание") необходима, для
арифметики - нет. Тем не менее все математические науки имеют в глазах
Платона высокий ценностный статус: все они в той или иной мере причастны к
постижению высшего бытия, а потому и должны почитаться как средства к
высшему познанию.
Большинство историков науки согласны между собой в том, что греческая
математика отличается от средневековой и особенно от математики нового
времени. К характерным ее чертам принадлежит, в частности, специфическое
отношение к числу, носящее ярко выраженный аксиологический характер. Такое
отношение к числу особенно характерно для математиков и философов,
принадлежащих к пифагорейской школе и к платоновской Академии. Анализ
платоновских произведений показывает, как складывалось и чем мотивировалось
ценностное отношение к математике.
Само происхождение знаний о числе представляется Платону достойным всякого
почитания. "Давайте рассмотрим, - говорит он, - как мы выучились считать.
Скажите: откуда у нас появилось понятие единицы, двойки? Почему только мы
одни из всех живых существ по своей природе можем иметь такое понятие?..
Нам впервые привил Бог понимание того, что нам показывают, а затем он
показал нам число и показывает до сих пор. Происходит беспрестанная смена
многих ночей и дней. Небо совершает это беспрестанно, научая людей понятию
о единице и двойке, так что, наконец, и самый неспособный человек
оказывается в состоянии усвоить счет. Созерцая это, каждый из нас может
получить понятие о числах "три", "четыре" и о множественности".
Счет, таким образом, есть нечто священное уже потому, что ему нас научило
Небо. То, что математика на Востоке с самых древних времен связана была с
астрономией, в этом нет сомнения, и это, собственно, Платон и имеет в виду.
Однако математика, как и астрономия, была связана и с практическими
нуждами, но эту ее функцию Платон, как мы уже видели, считает производной и
второстепенной.
Дарованная нам Небом наука о числе, согласно Платону, не может содержать в
себе ничего дурного, отрицательного. Вот отрывок, где дается ценностная
характеристика числа: "Что число не вызывает ничего дурного, это легко
распознать, как это вскоре и будет сделано. Ведь чуть ли не любое нечеткое,
беспорядочное, безобразное, неритмичное и нескладное движение и вообще все,
что причастно чему-нибудь дурному, лишено какого бы то ни было числа.
Именно так должен мыслить об этом тот, кто собирается блаженно окончить
свои дни. Точно так же никто, не познав [числа], никогда не сможет обрести
истинного мнения о справедливом, прекрасном, благом и других подобных вещах
и расчислить это для самого себя и для того, чтобы убедить другого" (курсив
мой. - П.Г.).
Таким образом, число внутренне связано с прекрасным, благим и священным, а
потому отнюдь не есть нечто нейтральное по отношению к ценностям. Именно с
понятием числа Платон связывает порядок, упорядоченность, ритм, склад
(лад), гармонию, согласованность, меру, соразмерность, а все это - атрибуты
не только прекрасного, но и доброго, благого, оно же и истинное. Поэтому в
самом числе выделяется и подчеркивается прежде всего то, что несет эти
атрибуты.
Первой среди математических наук Платон считает арифметику. Арифметика,
"главная и первая из наук - это наука о самих числах, но не о тех, что
имеют предметное выражение, а вообще о зарождении понятий "чет" и "нечет" и
о том значении, которое они имеют по отношению к природе вещей. Кто это
усвоил, тот может перейти к тому, что носит весьма смешное имя геометрии.
На самом деле ясно, что это наука о том, как выразить на плоскости числа,
по природе своей неподобные".
Два числа, ab и cd, называются подобными в том случае, если их множители -
"стороны" (как говорят античные математики, тем самым указывая на то, что
число мыслится ими геометрически) - пропорциональны, т.е. a:c = b:d. Если
же числа оказываются неподобными, то их можно уподобить, представив как
площади подобных прямоугольников; задача уподобления двух чисел ab и cd
предстает тогда как задача нахождения средних пропорциональных m и l, так
что площади ab и cd относятся как m2:l2. Таким образом, задача нахождения
средних пропорциональных с целью "уподобления" чисел мыслится Платоном как
центральная проблема геометрии. Установление пропорциональных отношений,
как видим, оказывается не одной из задач математики наряду с прочими, а
центральной ее темой.
"Вслед за этой наукой идет еще одна, ей подобная: люди, ею занимающиеся,
также назвали ее геометрией. Наука эта изучает тела, имеющие три измерения
и либо подобные друг другу по своей кубической природе, либо неподобные,
приводимые к подобию с помощью искусства". Речь идет, как нетрудно
заметить, о стереометрии, которой Платон отводил важное место среди
математических наук. Главной ее задачей он тоже считал установление
пропорциональных отношений.
В сочетаниях Платона рассматриваются три вида пропорций: арифметическая,
геометрическая и гармоническая. Так, в "Тимее", объясняя принцип построения
космоса демиургом, Платон приводит сложное числовое построение, в основе
которого лежит система пропорциональных отношений: "...в каждом промежутке
было по два средних члена, из которых один превышал меньший из кратных
членов на такую же его часть, на какую часть превышал его больший, а другой
превышал меньший крайний член и уступал большему на одинаковое число".
Здесь Платон дает определение гармонической и арифметической пропорции.
Если средний член превышает меньший из крайних на такую его часть, на какую
сам он превышается большим крайним членом, мы имеем гармоническую
пропорцию. Так, для двух чисел - 6 и 12 - гармонической средней будет 8.
Гармоническая пропорция - это 6, 8, 12, т.е. 1, 11/3, 2. Если же средний
член превышает меньший из крайних на такое же число, на какое его самого
превышает больший крайний, то пропорция будет арифметической: 6, 9, 12 или
1, 11/2, 2. Есть у Платона и третий вид пропорции, хотя он его не
определяет в приведенном отрывке, - геометрическая пропорция: второй член
должен так относиться к третьему, как первый - ко второму: 1, 2, 4.
Таким образом, именно теория пропорций была в центре математических
исследований, проводившихся в Академии, и не случайно такие математики, как
Теэтет и Евдокс Книдский, если доверять античным источникам, уделяли
большое внимание этой теме. Так, О. Беккер полагает, что V и VI книги
"Начал" Евклида, содержащие теорию пропорций, принадлежат Евдоксу, с чем
согласен также и э.¶. ван дер Варден.
Последовательный ряд наук - арифметика, геометрия и стереометрия -
продолжается еще одной наукой - астрономией. Астрономия - четвертая в ряду
математических наук, но в то же время она как бы возвращает нас и к началу
ряда, поскольку, как мы помним, по Платону, арифметика обязана своим
возникновением созерцанию Неба и происходящих в нем перемен. Вот что пишет
Платон о месте астрономии среди других наук и о ее предмете: " "Завершением
их (наук. - П.Г.). должно служить рассмотрение божественного происхождения
и прекраснейшей и божественной природы зримых вещей. Бог дал созерцать ее
людям, но без только что разобранных наук никто этого не может, хотя бы кто
и похвалялся тем, что он легко все схватывает... Нам надо познать точность
времени, а именно, с какой точностью совершаются все небесные
кругообращения... Всякая геометрическая фигура, любое сочетание чисел или
гармоническое единство имеют сходство с кругообращением звезд;
следовательно, единичное для того, кто надлежащим образом это усвоил,
разъясняет и все остальные".
Отсюда можно видеть, что астрономия имеет своим предметом закономерность
небесных движений, выраженную в точных числовых соотношениях. В этом смысле
астрономия - тоже наука математическая, предполагающая знание арифметики и
геометрии. Более того, как утверждает Платон, в движениях небесных тел
находят свое как бы телесное воплощение математические отношения, изучаемые
тремя первыми математическими науками. А потому изучение одной из этих
наук, в сущности, уже есть и изучение остальных, ибо их предмет в конце
концов один, только берется в разных аспектах. Видимо, так можно
истолковать последнее предложение приведенного отрывка. Это опять-таки
близко к пифагорейской традиции, согласно которой определенное сочетание
чисел соответствует правильному движению небесных сфер и гармоническому
сочетанию звуков. Гармония чисел, движений и тонов - одна и та же гармония,
и ее чистое выражение - математическая пропорция.
Астрономия у Платона непосредственно следует за стереометрией: стереометрию
он определяет в "Государстве" как "науку об измерении глубины", а
астрономию - как науку о вращении тел, имеющих глубину. В отношении
астрономии Платон рассуждает так же, как и в отношении геометрии, различая
два возможных к ней подхода: практический и чисто философский. С
практической точки зрения астрономия очень важна, ибо "внимательные
наблюдения за сменой времен года, месяцев и лет пригодны не только для
земледелия и мореплавания, но не меньше и для руководства военными
действиями". Однако практическая польза от астрономии - это отнюдь не самое
главное, ради чего необходимо ею заниматься.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52