Ученик Платона Спевсипп не соглашался с математиком Менехмом,
учеником Евдокса; их спор был продолжением полемики самого Платона с
Архитом, Евдоксом и другими математиками относительно применимости в
геометрии принципа построения. Во всяком случае, Г.Г. Цейтен считает, что
спор между Менехмом и Спевсиппом подобен тому, который начался еще раньше
между Евдоксом и Платоном, и что этот спор касается доказательства
существования геометрических объектов. "...Платоники, - пишет Цейтен, -
утверждали, что равносторонний треугольник существует до построения его,
Менехм же, очевидно, должен был доказывать, что в его реальном
существовании мы убеждаемся, лишь построив его и доказав при этом, что это
построение приводит действительно к преследуемой им цели. Но так именно
поступает Евклид: он не довольствуется определением равносторонних
треугольников; прежде чем начать пользоваться ими, он убеждается в их
существовании, решив в первой теореме своей первой книги задачу о
построении этих треугольников; затем он доказывает правильность этого
построения".
Цейтен считает, что этот спор имеет принципиальное значение с точки зрения
платоника Спевсиппа, существование геометрических объектов (того же
равностороннего треугольника) не может быть доказано с помощью построения,
ибо геометрические объекты тождественны идеям и существуют от века, а
Менехм и вслед за ним Евклид не согласны со Спевсиппом. Что касается
названных математиков, то их позицию Цейтен характеризует следующим
образом: "Основное значение геометрического построения заключается в
доказательстве реального существования того самого объекта, к нахождению
которого приводит это построение". К этой позиции присоединяется и сам
Цейтен, считая, что постулаты Евклида представляют собой доказательства
существования геометрических объектов: первый постулат - доказательство
существования отрезка прямой, второй - неограниченно продолженной прямой,
третий - круга.
И действительно, у Прокла по этому поводу читаем: Спевсипп и Амфином
"придерживались того взгляда, что наукам о духовном (Geisteswissenschaften)
приличествует скорее название теорем, чем проблем, поскольку они занимаются
непреходящим предметом. Ибо в сфере непреходящего не существует
становления, так что в ней нет места для проблемы, которая предполагает
становление и создание чего-то такого, чего до этого не было, как,
например, построение равностороннего треугольника или построение квадрата с
данной стороной... Согласно им, следовательно, правильнее сказать, что все
есть одно и то же и что мы рассматриваем его становление не деятельным, а
познающим способом, тем, что берем вечно сущее как нечто становящееся,
поэтому мы скажем, что все следует брать в смысле теорем, а не проблем.
Другие же, как, например, школа математики Менехма, хотят характеризовать
весь комплекс как проблемы. Но задача при этом является двойственной: она
означает то изобретение чего-то искомого, то исследование определенного
объекта с целью узнать, что он такое, или каким свойством обладает, или в
каком отношении он находится к другому объекту".
В приведенном отрывке мы находим положения, проливающие дополнительный свет
на позицию Спевсиппа: когда мы обращаемся к геометрическому объекту,
например равностороннему треугольнику, то мы не просто познаем вечно-сущую
идею, а "берем вечно-сущее как нечто становящееся". Главное расхождение
Спевсиппа с Менехмом касается, стало быть, не вопроса о том, что такое
треугольник: вечно-сущая идея или конструкция, порождаемая нами самими, а
вопроса о том, как понимать это рассмотрение становления - как деятельность
(т.е. как построение) или как познание.
На этот момент, во-видимому, Цейтен не обратил достаточного внимания. Нам
кажется, что произошло это вот по какой причине. Всем известно, что Платон
критиковал современных ему математиков за то, что те пользовались
определенными механическими орудиями для решения математических задач, в
том числе и для построения фигур. Ясно также, какие орудия нужны для
выполнения первых трех постулатов Евклида: линейка и циркуль. Естественно
поэтому, что приведенные Проклом соображения Спевсиппа против построения
как доказательства существования геометрических объектов были восприняты
как прямое продолжение возражений Платона, направленных против
"использования вспомогательных инструментов". Отсюда возникла и мысль, что
Платон и Спевсипп считали геометрические объекты существующими реально от
века, подобно вечным и неизменным идеям.
В то же время вывод этот не вытекает непосредственно из наличных
свидетельств древних авторов. Более того, утверждение Спевсиппа, что
геометрические объекты представляют собой "вечно сущее в становлении",
указывает на то, что эти объекты имеют несколько иной онтологический
статус, чем идеи. Но, прежде чем внести ясность в этот вопрос, посмотрим,
за что Платон критиковал современных ему математиков.
Прикладная и чистая математика. Платон о неприменимости механики в геометрии
Благодаря своей функции посредника между сферами чувственного и идеального
бытия математика может выполнять, согласно Платону, две разные задачи:
во-первых, служить цели приобщения человека к более высокому - к созерцанию
идеи блага - и, во-вторых, быть средством упорядочения и расчленения низшей
сферы - текучего и неуловимого становления. Первая ее функция оценивается
Платоном неизмеримо выше второй: "При устройстве лагерей, занятии
местностей, стягивании и развертывании войск и разных других военных
построениях как во время сражения, так и в походах, конечно, скажется
разница между знатоком геометрии и тем, кто ее не знает. - Но для этого
было бы достаточно какой-то незначительной части геометрии и счета. Надо,
однако, рассмотреть преобладающую ее часть, имеющую более широкое
применение: направлена ли она к нашей цели, помогает ли она нам созерцать
идею блага?"
Всякое применение математики к познанию эмпирических явлений оценивается
Платоном как ее прикладная функция, и хотя он против этого применения не
возражает, но опасается, как бы из-за него не затемнилось и не исказилось
понимание самой природы и сущности как математики, так и всей науки вообще.
А это "затемнение и искажение", согласно Платону, сказывается в том, что
из-за возможности применять математические знания на практике в саму
математику вносятся механические методы.
"Кто хоть немного знает толк в геометрии, - говорит Сократ в диалоге
"Государство", - не будет оспаривать, что наука эта полностью
противоположна тем словесным выражениям, которые в ходу у занимающихся ею.
- То есть?
- Они выражаются как-то очень забавно и принужденно. Словно они заняты
практическим делом и имеют в виду интересы этого дела, они употребляют
выражение "построим" четырехугольник, "проведем" линию, "произведем
наложение" и так далее: все это так и сыплется из их уст. А между тем все
это наука, которой занимаются ради познания.
- Разумеется.
- Не оговорить ли нам еще вот что...
- А именно?
- Это наука, которой занимаются ради познания вечного бытия, а не того, что
возникает и гибнет... Значит, она влечет душу к истине и воздействует на
философскую мысль, стремя ее ввысь, между тем как теперь она у нас низменна
вопреки должному".
Платон здесь подвергает критике применение механики к решению
геометрических проблем. Так, Архит при решении задачи удвоения куба,
которая, по свидетельству древних источников, была поставлена как
практическая задача удвоения объема делийского жертвенника, применял метод
построения, вводя при этом в геометрию механические методы.
Это предположение подтверждается и сообщением Плутарха. "Знаменитому и
многими любимому искусству построения механических орудий, - пишет Плутарх,
- положили начало Евдокс и Архит, стремившиеся сделать геометрию более
красивой и привлекательной, а также с помощью чувственных, освязаемых
примеров разрешить те вопросы, доказательство которых посредством одних
лишь рассуждений и чертежей затруднительно; такова проблема двух средних
пропорциональных - необходимая составная часть многих задач, для разрешения
которой оба применили механическое приспособление, строя искомые линии на
основе дуг и сегментов. Но, так как Платон негодовал, упрекая их в том, что
они губят достоинство геометрии, которая от бестелесного и умопостигаемого
опускается до чувственного и вновь сопрягается с телами, требующими для
своего изготовления длительного и тяжелого труда ремесленника, механика
полностью отделилась от геометрии и, сделавшись одною из военных наук,
долгое время вовсе не привлекала внимания философов".
Свидетельство Плутарха полностью совпадает с приведенными рассуждениями
Платона, что в свою очередь придает б(льшую достоверность самому этому
свидетельству. Плутарх, как, впрочем, и сам Платон, хорошо передает
атмосферу научной жизни античной Греции, борьбу тенденций в науке, в
частности в математике, которая действительно привела к значительному
обособлению механики и математики, соединение которых можно наблюдать
только в более поздний период, например у Архимеда.
Было бы, однако, не совсем справедливо приписывать одному лишь Платону и
его Академии склонность к разделению теоретической и практически-прикладной
областей: эта склонность характерна вообще для подавляющего большинства
греческих философов, в том числе и для Демокрита, и для Аристотеля, и для
Эпикура. Именно это разделение двух сфер привело, с одной стороны, к
вычленению науки как некоторого самостоятельного по отношению к
практической жизни теоретического образования, органически связанного с
философией, какого не было на Востоке. С другой стороны, это разъединение
(конечно, всегда относительное, а не абсолютное) обусловило специфический
характер древнегреческой науки вообще, а математики в частности, благодаря
которому она отличается от науки нового времени - последней свойственна
гораздо более интимная связь с "механическими приспособлениями", как
выразился Плутарх.
Итак, Платон решительно выступает против внесения в геометрию механических
методов; но это еще не значит, что он отождествляет геометрические фигуры с
самими идеями и не ставит специально вопроса о их существовании - вопроса,
который должен обязательно возникнуть, если онтологический статус
геометрических объектов иной, чем статус идей.
Прокл о воображаемом движении
Платон считал, что предпосылкой существования геометрических объектов
является пространство - нечто среднее между чувственными вещами и
умопостигаемыми идеями. О нем не может быть достоверного знания, какое
получают только посредством ума, но опираясь на него, геометрия "строит"
свои объекты.
Однако вопрос этот, видимо, вызывал много споров, поскольку действительно
его решение у Платона лишь схематически намечено, но не разработано в
деталях. Так, Аристотель постоянно задает Платону и платоникам вопрос, к
какому роду бытия принадлежат геометрические объекты в отличие от
арифметических и "из чего" они образованы. "...Оказывается необходимым, -
пишет Аристотель, - устанавливать еще другой род числа, с которым имеет
дело арифметика, и также все то, что у некоторых получает обозначение
промежуточных объектов; так вот, эти объекты - как они существуют или из
каких образуются начал? а также - почему они будут находиться в промежутке
между здешними вещами и числами самими по себе?"
Надо полагать, в платоновской Академии продолжалось обсуждение вопроса о
том, как существуют геометрические объекты и из каких "начал" образуются;
не удивительно, что этим вопросам уделяют большое внимание неоплатоники, в
частности Прокл в своем комментарии к "Началам" Евклида.
Посмотрим, как Прокл пытается ответить на эти вопросы. Сравнивая между
собой точки зрения Спевсиппа и Менехма, Прокл говорит, что, в сущности, оба
спорящих правы. Права школа Спевсиппа, "ибо проблемы геометрии - иного
рода, чем проблемы механики... Но столь же права и школа Менехма: ибо без
вхождения в материю невозможно нахождение теорем, но я имею в виду
интеллигибельную материю. Поскольку, следовательно, идеи входят в нее и
оформляют ее, справедливо говорят, что они уподобляются становящемуся. Ибо
деятельность нашего духа и эманацию его идей мы характеризуем как источник
фигур в нашей фантазии и процессов, совершающихся с ними".
Платон не пользуется терминами, которые употребляет здесь Прокл:
"интеллигибельная материя" и "фантазия". Но то, что названо этими
терминами, мы у Платона уже встречали: интеллигибельная материя - это ведь
гибрид, соединение, казалось бы, несоединимого - интеллигибельного и
чувственного, то самое соединение, которое Платон считал характерным для
пространства. А способность, которой постигается эта "интеллигибельная
материя", носит у Прокла название "фантазии".
Что же касается аргументов Спевсиппа, то их Прокл считает относящимися к
вопросу о невозможности конструирования геометрических объектов
механическим путем; и в этом пункте позиция Спевсиппа, судя по всему,
смыкается с платоновской. Но теперь понятны нам и приведенные Проклом слова
Спевсиппа о том, что, беря равносторонний треугольник или любую другую
фигуру, мы "берем вечно сущее как нечто становящееся". Любой геометрический
объект - это вечно сущее, взятое как становление; стихия геометрии - это,
стало быть, интеллигибельная (вечно сущее) материя (становление).
Значит, постулаты Евклида представляют собой способы оперирования с этой
"интеллигибельной материей" - пространством? Мы не знаем, как
интерпретировал постулаты сам Евклид, но, по-видимому, Платон мог бы их
истолковать так же.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52