Пространство лежит как бы между
этими мирами в том смысле, что оно имеет признаки как первого, так и
второго, а именно: подобно идеям, пространство вечно, неразрушимо,
неизменно - более того, оно и воспринимается не через ощущение. Но сходство
его с чувственным миром в том, что воспринимается оно все же не с помощью
мышления. Та способность, с помощью которой мы воспринимаем пространство,
квалифицируется Платоном весьма неопределенно - как "незаконное умозрение"
(Шpt'n logismщ tinИ n"JJ). Переводя это выражение Платона как "гибридное
рассуждение", Дюгем тем самым хочет подчеркнуть, что способность, которой
мы постигаем пространство, есть некий гибрид, "помесь" между мышлением и
ощущением.
Интересно, что Платон сравнивает видение пространства с видением во сне:
"Мы видим его (пространство. - П.Г.) как бы в грезах и утверждаем, будто
это бытие непременно должно быть где-то, в каком-то месте и занимать
какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небесах,
будто бы и не существует".
Сравнение "незаконнорожденного" постижения пространства с видением во сне,
очевидно, весьма для Платона важно, потому что он употребляет это сравнение
не однажды. В диалоге "Государство", говоря о геометрии и ее объектах,
Платон вновь пользуется этим сравнением: "Что касается остальных наук,
которые, как мы говорили, пытаются постичь хоть что-нибудь из бытия (речь
идет о геометрии и тех науках, которые следуют за ней. - П.Г.), то им всего
лишь снится бытие, а наяву им невозможно его увидеть, пока они, пользуясь
своими предположениями, будут сохранять их незыблемыми и не отдавать в них
отчета. У кого началом служит то, чего он не знает, а заключение и середина
состоят из того, что нельзя сплести воедино, может ли подобного рода
несогласованность когда-либо стать знанием?"
Пространство мы видим как бы во сне, мы его как бы и видим и в то же время
не можем постигнуть в понятиях, - и вот оно-то, по мнению Платона, служит
началом для геометров.
Почему, говоря о пространстве, Платон постоянно прибегает к образу сна?
Невольно приходит на ум известный платоновский символ пещеры: ведь узники в
пещере принимают за истину "тени проносимых мимо предметов", так же точно
как человек во сне принимает за реальность лишь "тени". Пространство в этом
смысле у Платона - это не тени, т.е. не чувственные вещи, а как бы сама
стихия сна, пространство - это сам сон как то состояние, в котором мы за
вещи принимаем лишь тени вещей. И так же, как, проснувшись, мы воспринимаем
виденное во сне несколько смутно, не можем дать себе в нем отчет, оно как
бы брезжит, не позволяет себя схватить и остановить, определить, - так же
не дает себя постигнуть с помощью понятий разума и пространство.
Итак, Платон рассматривает пространство как предпосылку существования
геометрических объектов, как то "начало", которого сами геометры "не знают"
и потому должны постулировать его свойства в качестве недоказуемых первых
положений своей науки.
Платон и "Начала" Евклида
В первой книге "Начал" Евклид формулирует исходные положения геометрии,
которые не могут быть доказаны, но на базе которых только и могут быть
получены остальные - выводные - положения. Эти недоказуемые утверждения
Евклид подразделяет на три группы: определения ("roi), постулаты (aДtяmata)
и общие понятия - аксиомы. У самого Евклида эта третья группа положений
носит название koinaИ Ьnnoiai - "общие представления", "понятия"; на
латинский язык это выражение обычно переводили как "communes animi
conceptiones" - "общие понятия души". У Прокла в комментарии к Евклиду
первая группа положений называется также гипотезами (Зp"JesiV), а третья
группа положений носит название аксиомы (Кxiиmata).
На каком основании Евклид вводит эти три подразделения? Чем отличаются
определения от постулатов и аксиом?
Рассмотрим сначала, что такое определения, или допущения (гипотезы), как их
именует платоник Прокл. В первой книге Евклида их 23. Они в свою очередь
могут быть подразделены на две группы. В первой группе (определения 1-9,
13, 14) вводятся исходные понятия геометрии - точка, линия, прямая линия,
поверхность, плоскость, угол, граница, фигура. Ко второй группе принадлежат
определения основных геометрических фигур - прямого, тупого и острого
углов, круга, разного вида треугольников и четырехугольников, параллельных
прямых.
Что касается определений первой группы, то, как отмечает М.Я. Выгодский, "с
древнейших времен и до наших дней эти определения в наибольшей степени были
предметом критики". Приведем главнейшие из определений этой первой группы.
1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия же - длина без ширины.
3. Концы же линии - точки.
4. Прямая линия есть та, которая равно расположена относительно точки на
ней.
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Концы же поверхности - линии.
Очевидно, именно такого рода определения имеет в виду Платон в следующем
своем рассуждении: "Я думаю, ты знаешь, что те, кто занимается геометрией,
счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им
известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же
роде. Это они принимают за исходные положения и не считают нужным отдавать
в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно".
Таким образом, термин "roi, или ЙpoJЪseiV, переводимый на русский язык как
"определения", означает скорее "гипотезы", т.е. предположения, допущения,
которые далее не доказываются. Как поясняет Аристотель, определения "ничего
не говорят о том, существует ли данный предмет или нет", и это, надо
полагать, их специфическое отличие от постулатов. Точно так же ничего не
говорят о существовании определяемого предмета и аксиомы, т.е. "общие
понятия".
1. Равные одному и тому же равны между собой.
2. И если к равным прибавляют равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.
5. И удвоенные одного и того же равны между собой.
6. И половины одного и того же равны между собой.
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. И целое больше части.
9. И две прямые не содержат пространства.
Как нетрудно видеть, все аксиомы, кроме 7-й и 9-й, одинаково могут быть
отнесены как к геометрии, так и арифметике; что же касается 7-й и 9-й, то
Л. Хис считает их позднейшей вставкой, и его мнение разделяет М.Я.
Выгодский.
Аксиомы, как и определения, ничего не говорят о существовании определяемого
ими объекта. Отличие определений от аксиом легко заметить: определения
имеют более специальный характер, они вводят именно геометрические объекты,
аксиомы же (по крайней мере 1Ч6-ъ и 8-я) могут иметь значение и для
геометрии, и для арифметики, т.е. носят более общий характер. Это различие
подтверждается и тем, что Евклид формулирует специальные определения в
начале каждой из книг своего сочинения; что же касается аксиом, то они
предпосылаются сразу ко всем книгам.
По этому принципу отличал определения от аксиом и Аристотель. В "Аналитике
второй" читаем: "Из тех начал, которые применяются в доказывающих науках,
одни свойственны каждой науке в отдельности, другие - общи всем...
Свойственным <лишь одной науке> является, например, то, что линия -
такая-то и прямое - такое-то. Общее же, например, то, что если от равного
отнять равные <части>, то остаются равные же <части>. Каждым из таких
<общих положений> можно пользоваться, поскольку оно относится к роду,
подчиненному данной науке, ибо оно будет иметь одинаковую силу, если и не
брать его для всего <подходящего>, но <в геометрии> - в отношении величин,
а в арифметике - в отношении чисел". И действительно, аксиомы у Евклида
формулируются в самом начале; что же касается определений, то они свои в
начале каждой книги.
Иной характер, чем определения и аксиомы, носят постулаты. Греческий термин
aДtяmata означает "требования". Постулаты, как и аксиомы, имеют общее
значение: они перечислены в начале I книги и имеют силу для всех книг
Евклида, где речь идет о геометрических объектах. Относительно количества
постулатов очень много спорили уже в эпоху эллинизма и вплоть до нашего
времени. По этому вопросу существует специальная весьма обширная
литература, но мы рассмотрим его лишь с интересующей нас стороны.
Обратимся к переводу постулатов, сделанному М.Я. Выгодским со списка,
который принят И. Гейбергом. Этот список, как говорит Выгодский,
"соответствует большинству лучших рукописей и, что не менее важно,
совпадает со списком, приводимым в комментариях Прокла. Поэтому можно
думать, что нижеприводимые постулаты... содержались в оригинале "Начал".
Вот их список.
Требования
1. Требуется, чтобы можно было через всякие две точки провести прямую.
2. И ограниченную прямую непрерывно продолжать по прямой.
3. И из всякого центра всяким расстоянием описать круг.
4. И что все прямые углы равны.
5. И если прямая линия, падающая на две прямые, делает меньшими двух прямых
углы по одну сторону, чтобы эти две прямые, будучи продолжены, совпали с
той стороны, с которой углы меньше двух прямых".
Анализ евклидовых "Начал" неоплатоником Проклом
Неоплатоник Прокл (V в.) в своем комментарии к "Началам" Евклида говорит,
что 4-й и 5-й постулаты - это, в сущности, не постулаты. "...юоложение, что
все прямые углы равны, не есть требование, точно так же как и пятое
положение, которое утверждает: если прямая пересекается с двумя другими
прямыми и образует внутренние углы по одну сторону меньшие, чем два прямых,
то эти две прямые, будучи продолжены, совпадут с той стороны, где лежат
углы, меньше двух прямых". Как аргументирует Прокл свое утверждение? "Это
положение, - говорит он, имея в виду 5-й постулат, - не применяется в
качестве конструкции и не ставит требование что-то найти, а оно объясняет
некоторое свойство, которое является общим для прямых углов и прямых,
исходящих из углов, меньших двух прямых. Согласно второму определению,
положение, что две прямые не объемлют поверхности (см. аксиому 9: "Две
прямые не содержат пространства"), - положение, которое также теперь
некоторые причисляют к аксиомам, не есть аксиома. Ибо оно принадлежит к
геометрической материи, как и положение о равенстве двух прямых углов".
Это рассуждение Прокла в сущности уже содержит различение аксиом и
постулатов - различение, которое нас как раз и интересует. Из слов Прокла
можно понять, что к постулатам он причисляет лишь те положения, которые
ставят требования что-то найти или сконструировать; по этой причине
отнесенные к числу постулатов положения о равенстве всех прямых углов (4) и
о пересечении двух непараллельных прямых при их продолжении (5) он
постулатами не считает. В то же времъ Прокл не согласен считать аксиомой
положение 9, относимое, как он говорит, "некоторыми" к аксиомам: ведь оно
трактует о поверхности (пространстве) и тем самым "принадлежит к
геометрической материи". Заметим характерное выражение: геометрическая
материя.
Аксиомы, согласно Проклу, так же отличаются от постулатов, как теоремы - от
проблем: "Выведение из принципов опять-таки распадается на задачи
(проблемы) и положения (теоремы). Первые обнимают собою построение фигур,
разделение, вычитание и прибавление и вообще все, что с ними можно делать
(vornehmen); последние указывают существенные свойства... Если кто-то
формулирует задачу так: вписать в круг равносторонний треугольник, то он
говорит о проблеме; ибо возможно вписать в круг также и неравносторонний
треугольник. И опять-таки: на данном, точно определенном, отрезке построить
равносторонний треугольник - это тоже проблема, ибо можно построить также и
неравносторонний. Но если кто-то формулирует положение, что в
равнобедренных треугольниках углы при основании равны, то можно сказать,
что он формулирует теорему, ибо невозможно, чтобы в каком-нибудь
равнобедренном треугольнике углы при основании не были равны".
Таким образом, теорема - это теоретическое утверждение, в котором
определенному объекту приписывается свойство, которое ему присуще с
необходимостью.
Проблема же - это скорее практическая задача, которая выполняется
определенным способом, и нужно найти эти способы, изобрести их и выполнить
требуемое построение. Характерной особенностью задачи (проблемы) является
то, что требуемое построение - отнюдь не единственно возможное: при
заданных условиях можно осуществить и другое построение.
Теорема представляет собой утверждение, противоположное которому будет
неистинным; к проблеме же определение "истинно - неистинно" не может быть
применено.
Указав на различие между теоремами и проблемами, Прокл переходит к
рассмотрению аксиом и постулатов. "Общим для аксиом и постулатов, - пишет
он, - является то, что они не нуждаются ни в каком обосновании и ни в каком
геометрическом доказательстве, но что они принимаются как известные и
являются началами для последующего. Но аксиомы отличаются от постулатов так
же, как теоремы от проблем. А именно, подобно тому как в случае теорем мы
ставили задачу усмотреть и понять следствие из предпосылок, а в случае
проблем получаем требование что-то найти и сделать, точно так же и в случае
аксиом принимается то, что сразу видно и не представляет никаких
затруднений для нашего необученного (ungeschulten) мышления. Но в случае
постулатов мы пытаемся найти то, что легко получить и установить и
относительно чего рассудок не затрудняется, не нуждается ни в каком сложном
методе и ни в какой конструкции".
Если мы оставим в стороне весьма сложный и на протяжении многих веков
дискутировавшийся среди математиков и философов вопрос о двух последних
постулатах (4 и 5-й) и некоторых аксиомах (7 и 9-ъ), то с различением,
которое здесь приводит Прокл, трудно не согласиться.
Из дальнейшего сообщения Прокла мы узнаем, что еще до Евклида греческие
математики и философы обсуждали значение недоказуемых предпосылок в
геометрии.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52