К со-
жалению, в основном преподавание математики носит
именно такой характер. Ребенка учат не понима-
рию математической закономерности, а, скорее, приме-
рению некоторых схем и приемов, не объясняя при
ртом их смысла и взаимной связи и не изменяя мате-
риала в соответствии со способом мышления ребен-
Жа. На основе таких неадекватных приемов ребенок
легко приходит к убеждению, что самое важное - это
точность, хотя последняя имеет значительно больше
фбщого с вычислением, чем с математикой. Самым пора-
вительным примером такого положения в преподавании
является, вероятно, первое знакомство школьников с
евклидовой геометрией. Они знакомятся с ней впервые
как с системой аксиом и теорем, не имея ни малейшего
представления о простых геометрических фигурах и
способах обращения с ними. Если бы на ранних стадиях
обучения ребенок получил некоторые понятия и стратегии
ца доступном для него уровне в форме интуитивной геи-
трии, он был бы гораздо лучше подготовлен к понима-
дию глубокого смысла тех теорем и аксиом, которые
будут ему преподаны впоследствии.
Но ход умственного развития ребенка представляет
собой не просто часовой механизм последовательности
событий - он одроделяется также и различными влия-
ниями среды, особенно школьной. Поэтому преподавании
осноз наук, даже на элементарном уровне, не должно
слепо следовать естественному ходу познавательного раз-
вития ребенка. Преподавание может стать даже ведущим
фактором этого развития, предоставляя ученику заман-
чивые и вполне осуществимые возможности самому
форсировать свое развитие. Опыт доказывает полезность
постановки перед ребенком таких задач, которые поощ-
ряют его к переходу на следующие стадии развития. Вот
что говорит об этом один из видных и опытных препода-
вателей элементарной математики Д. Пэвдж:.
364
<Имея самый разнообразный опыт преподавания - от детско-
го сада до аспирантуры,- я не раз поражался интеллектуальному
сходству людей разных возрастов. И все же дети обнаруживают
больше спонтанности, энергии и творчества, чем взрослые. Насколь-
ко я знаю, малыши почти любое явление усваивают быстрее взрос-
лых, если оно объяснено в доступной для них форме. Выяснилось,
что для такого рода изложения материала учитель сам должен хо-
рошо знать математику, и чем лучше он ее знает, тем выше резуль-
тат преподавания. Не следует торопиться с установлением абсолют-
ных пределов трудности той или иной темы. Когда я говорю матема-
тикам, что четвероклассники вполне способны усвоить <теорию мно-
экеств>, лишь некоторые из них соглашаются с этим. Большинство
же с возмущением отвергает такую возможность. Последние со-
вершенно неправы, полагая, что <теория множеств> трудна по су-
ществу. Вполне возможно, что тем, трудных по существу, вообще
не существует. Мы просто должны дождаться того момента, когда
в сознании учащегося проявится надлежащая точка зрения и соот-
ветствующий для ее изложения язык. Что же касается определен-
ного понятия или темы, всегда можно сформулировать просто
некоторые исходные вопросы или подвести ученика к тому, чтобы
он задал их сам. Нетрудно также поставить такие вопросы, ко-
торые он не в состоянии решить. Все дело в том, чтобы вопрос был
средней степени трудности, посильным для решения. В этом и
состоит задача учителя и учебных пособий>.
С помощью умело сформулированных вопросов сред-
ней трудности учитель побуждает ребенка к ускоренному
переходу от одной стадии умственного развития к другой,
способствуя тем самым более глубокому пониманию прин-
ципов математики, физики или истории. Познакомимся
поближе со способами, которые при этом применяются,
Б. Инхельдер попросили поделиться своими мыслями
о том, какими методами можно ускорить достижение
ребенком различных стадий развития в освоении физико-
математических наук. Ниже приводится отрывок из мемо-
рандума, составленного ею для конференции в Вудс-Хоул,
<Наиболее элементарные формы суждения - будь то в логике,
арифметике, геометрии или физике - основаны на принципе инва-
риантности количества: целое остается самим собой, как бы ни пере-
распределялись его части, ни изменялась его форма или его поло-
жение в пространстве и времени. Принцип инвариантности не явля-
ется априорным постулатом сознания, так же как не является чисти
эмпирическим продуктом наблюдения. Ребенок приходит к нему
примерно тем же путем, как наука приходит к своим открытиям.
Усвоение понятия инвариантности связано для него с многочислен-
ными трудностями, о которых учитель порой и не догадывается.
По мнению ребенка, числовые величины, пространственное протя-
жение и физические величины не остаются постоянными, а расши-
ряются и сокращаются в ходе производимых с ними операций.
Труднее всего для ребенка осознать, что общее число шариков в ко-
365
робке сохраняется, разделим ли мы их на две, три или десять частой.
Малыш воспринимает всякое изменение как одностороннее, посколь-
ку он неспособен понять, что некоторые основные свойства предме-
тов остаются постоянными при любых изменениях; если же свой-
ства изменяются, то эти изменения обратимы.
Несколько примеров из числа тех, с которыми мы столкнулись
при исследовании понятия инвариантности у ребенка, покажут
нам, какого рода материал можно использовать, чтобы обеспе-
чить лучшее усвоение этого понятия. Ребенок переносит известное
количество шариков или известный объем жидкости из одного со-
суда в другой. Один из сосудов высокий и узкий, другой - плоский
и широкий. Малыш уверен, что в первом сосуде вещества больше,
чем во втором. В этой ситуации нетрудно дать ему конкретное пред-
ставление о сущности однозначного соответствия между двумя раз-
личными состояниями одного и того же количества вещества. Для
итого существует простая техника контроля: пересчет шариков или
стандартные способы измерения объема жидкости. Аналогичные
операции используются при усвоении понятия сохранения простран-
ственных размеров; при этом длина измеряется палочками, а по-
верхность - плитками. Ребенок может также менять форму фи-
гур, используя постоянное число кубиков. В физике подобный же
дидактический эффект даст деформация пластилиновых шариков или
растворение сахара, происходящие с сохранением объема. Если учи-
телю не удается заменить основанные на восприятии первоначаль-
ные представления ребенка соответствующим понятием инг-ариант-
иости количества, результат окажется тот, что ребенок будет про-
изводить вычисления, не владея этим понятием. Возможно также,
что он будет делать геометрические измерения, не ведая о правиле
транзитивности: если А включает В, а В включает (7, то и А вклю-
чает С. В физике ребенок будет производить расчеты с неверно по-
нятыми величинами веса, объема, времени и скорости. Метод
обучения, учитывающий естественную природу мыслительных про-
цессов, должен давать ребенку возможность самому открыть прин-
ципы инвариантности, помогая ему выйти за проделы его примитив-
ного способа мышления в результате столкновения с некоторыми
конкретными данными, как, например, в случае с двумя стаканами
жидкости, когда он на практике убеждался, что данное количество
жидкости в стаканах разной величины и формы в действительности
остается одними тем же. Конкретная деятельность, приобретающая
со временем все более формальный характер,- вот что ведет ребенка
к такому виду умственной подвижности, который естественным об-
разом обеспечивает ему понимание обратимых операций в математи-
ке и логике. Ребенок постепенно приходит к убеждению, что всякое
изменение можно мысленно отменить, применив обратную опера-
цию,- например, компенсировать сложение вычитанием, и вообще,
что каждое изменение можно уравновесить некоторым противопо-
ложным изменением,
Ребенок часто сосредоточивает свое внимание одновременно
лишь на одной стороне явления, что мешает ему понять послед-
нее. Проведем небольшой дидактический эксперимент, при котором
он будет вынужден обратить внимание и на другие стороны пред-
мета. Так, в возрасте примерно семи лет при оценке скорости авто-
мобиля дети исходят из убеждения, что автомобиль, который раньше
пришел к цели или обошел другой, имеет большую скорость. Пре-
366
одолеть эти заблуждения можно с помощью игрушечных автомат
билей, наглядно показав, что скорости двух автомобилей, стартую-
щих на разном расстоянии от финишной прямой, нельзя оценить
по тому, который из них пришел первым; или же показав, что один
автомобиль может обогнать другой и все-таки но прийти первым. Эти,
упражнения несложны, но они помогают приобретению способности
следить сразу за несколькими аспектами проблемы.
Исходя из сказанного, мнение, согласно которому изучение,
скажем, евклидовой геометрии или геометрии метрической (в особей-
ности если ранее не был пройден курс проективной геометрии)
следует начинать лишь с последнего класса начальной школы, яв.,
ляется в высшей степени произвольным и, скорее всего, ошибочным>
То же относится и к физике, значительная часть которой может быт
с пользой усвоена на индуктивном и наглядном уровне гораздо раныГ
ше. Основные понятия этих дисциплин вполне доступны детям oe-i,
ми-десятилетнего возраста при условии, что они отделены от своего,;
математического выражения и усваиваются предметно, с помощыа.
материалов, с которыми ребенок может манипулировать сам.
Другой вопрос относится к той последовательности, в которой>
излагается программа по математике. Нередко последовательностн
психического развития ребенка оказывается ближе к аксиомати>.
ческому порядку изложения, чем к историческому порядку развит
тия понятий в данной науке. Замечено, например, что такие топб
логические понятия, как связность, отделимость, замкнутость и т."п.,
возникают у ребенка несколько раньше, нежели понятия евкли-i)
довой или проективной геометрии, хотя в истории математики они
оформились позднее. Это должно служить доводом в пользу изло
экения предмета в логико-аксиоматическом порядке, присущем erq
структуре, а не в порядке его исторического развития, если такой
довод вообще следует доказывать. Сказанное не означает, разуме
ется, что не бывает ситуаций, когда исторический порядок оказы
вается более важным с культурной или педагогической точки
зрения. 1
Что касается изложения геометрических понятий перспективы
и проекции, то здесь также многого можно достичь с помощью экспе
риментов и наглядных демонстраций, опирающихся на операционную
способность ребенка анализировать свой конкретный опыт. Мы на->
блюдали работу детей с устройством, в котором между свечой и
экраном помещались кольца различного диаметра; расстояние между
ними фиксировалось таким образом, что кольца отбрасывали на
экран тени различных размеров. Ребенок усваивает зависимость.
между расстоянием кольца от источника света и размерами отбрасы-
ваемой тени. Предоставив таким образом ребенку возможность прИт,
обретения конкретного опыта обращения со светом, мы обучали его
некоторым манипуляциям, которые в конце концов позволили ему
усвоить типовые понятия, лежащие в основе проективной геометр
рии.
Эти примеры привели нас к мысли о возможности выработки
таких методических приемов, которые позволили бы излагать детям
основные понятия естествознания и математики гораздо раньше,
чем это обычно делается. Именно в этом, более раннем возрасте си
стематические упражнения позволяют заложить фундамент по-
нимания основ наук, который с большой пользой можно будет ис<
пользовать позднее, на уровне второй ступени обучения,
367
При существующей системе образования обучение вероятност-
ному мышлению, этой столь простой и важной особениости совре-
менной науки, вряд ли осуществимо до поступления учащегося в кол-
ледж. Причина этого, по-видимому, в катастрофическом отставании
школьных программ от успехов науки почти во всех странах. Воз-
можно, зто объясняется также широко распространенным убежде-
нием, что понимание случайных явлений учащимися зависит от того,
воспринимает ли сам учитель те или иные события как редчайшие
или как обыденные. Общепризнано, что подобные понятия трудно
доходчиво изложить детям. Наши исследования показывают, однако,
что опродсленные конкретные логические операции, необходимые
для понимания сущности случайных явлений, вполне доступны де-
тям младшего возраста - при условии, что они изложены без по-
мощи громоздкого математического аппарата. Главные из этих ло-
гических операций - это дизъюнкция (истинно либо А, либо В) и
конъюнкция. Идеальный дидактический материал для усвоения ре-
бенком логических операций, необходимых для выработки вероят-
ностного мышления,- это игра: рулетка, вытягивание жребия,
а также игры, в которых используется гауссова кривая распределе-
ния результатов случайного выбора. Участвуя в таких играх, дети
прежде всего открывают для себя чисто качественное понятие слу-
чайности, определяемой как недостоверное событие, наступление ко-
торого нельзя с несомненностью вывести дедуктивно. Понятие вероят-
ности, понимаемой как степень положительности, возвикает позднее.
Эти открытия ребенок способен сделать еще до того, как он овладеет
техникой вычисления вероятностей, без которой обычно не обходится
изложение теории вероятности. Интерес ребенка к проблемам ве-
роятностного характера легко пробудить и развить задолго до сис-
тематического изложения статистических процессов и овладения
соответствующими вычислительными приемами. Статистические
суждения и расчеты суть только инструменты, к использованию
которых следует приступать лишь после того, как установлено
их непосредственное понимание.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63