i)2 i = Р"(1 + i+i+
1)3
53 = ( + РО-I) + о + РО-I)- = РО(I + Ц
+ i 212 + i3) = р(i + Зi + 312 + i3) = р(i + i)з
п к,....-. -
.--.., Iд
В общем виде формула выглядит:
ЗРI+I)"
где (I+i)- множитель нарастания, а п
ков нарастания.
(6)
количестве сро-
Пример 1: Найти будущую стоимость срочного вклада в
10.000 ден. ед., помещенного на 3 го(}а при срочной процент-
ной ставке 0,05.
Решение: 53 = 10.000 1,053 = 11.576,25 ден. ед.
Для облегчения расчетов можно использовать логарифмиро-
вание:
1д5з = 31д1,05 + 4
Схематически нарастание сложных процентов можно пред-
ставить следующим образом:
10,000 ден. ед. - настоящая стоимость срочного вклада
+
500 ден. ед. - процент согласно ставке 0,05,
10.500 ден. ед. - итог первого года
+
525 ден. ед. - процент согласно ставке 0,05
11,025 ден. ед. - итог второго года
+
551,25 ден. ед. - процент согласно ставке 0,05
11.576,25 ден. ед, - будущая стоимость срочного вклада,
Пример 2: Определить будущую стоимость 100 ден. ед. че-
рез 200 лет по сложной процентной ставке 0,06.
Решение: 5200 = ЮО (1.06) = 11.512.2 ден. ед.
Если период срока кредита (п) не совпадает с числом нара-
стания процентной ставки (т), то формула (6) примет вид
= РО(I+
Пример 3: Найти будущую стоимость 10.000 ден. ед., вло-
женных при годовой ставке 8% на 10 лет при нарастании
четыре раза в год.
Решение: 510 = 10.000 - (1 + 0.08/4) = 22.0.08,3
Приведенная выше формула для расчета сложных процен-
тов (6) является отправной для вычисления дисконтной
ставки при сложных процентах.
= 5" / (1 + = 8
где У" = 1/ (1 + i) называется учетным множителем.
Пример 4: Сколько денег следует поместить в банк, чтобы
через 15 лет получить 10.000 ден. ед.., если процентная
ставка (сложная) равна 0,05?
Решение:
Если число нарощение не равно банковскому сроку, то фор-
мула (8) принимает вид:
Р=5ц/(1+ i/т)T
Для упрощения банковских вычислений существуют специ-
альные математические таблицы процентных множителей, со-
ставленных применительно к 1 ден. ед, С их помощью вычисле-
ние будущей (настоящей) цены вклада сводится к умножению
числа, взятого из таблицы, на величину настоящей (будущей)
стоимости вклада,
Для расчета будущей стоимости при сложных процентах ис-
пользуется таблица <Риiиге Уаiие Iпiегеяi Расiоге> (РУIР), где
приводится ряд целочисленных значений множителя (1 + i)"=В.
В расчетах настоящей стоимости применяется таблица <Ргеяепi.
Уаiие Iпiегевi Расiога> (РУIР), используется множитель
1/(1+i)=УЇ
Эти множители помещены в таблице 12.1 (РУIР - первый
столбец), (РУТР - второй столбец).
п = РО РУп (10)
Рп = 5п РУIР (II)
Пример 5: Кокова величина вклада в 2.000 ден. ед., помещен-
ных при сложной ставко 8% на 5 лет?
Решение: РУ = 2.000 1.46933 = 2.938.66 ден. ед.
где 1,46933 - число найденное при пересечении i = 8 и п = 5.
Пример 6: Через 15 лет фирма хочет обладать суммой в
100.000 ден. ед., необходимой ей для покупки нового оборудо-
вания. Ставка сложного процента равна 12 %. Какую сумму
необходимо поместить в банк, чтобы через нужный срок
получить требуемую величину?
Решение: РУц = 100.000 0.18270 = 18.270 ден. ед.
Пример 7: Вклад в 5.000 ден. ед. к концу 8 года по сложным
процентам превратился в 5.858,3 ден. ед. Какова величина
процентной ставки?
5ц : РО = 5.858,3 : 5.000 = I.Є7166
Найдем данное число в таблице РУIР против п = 8. Эта ве-
личина соответствует 2%.
При расчете процентных платежей с помощью таблиц осо-
бое внимание следует уделить правильности выбора срока пе-
риода.
Пример 8: Найти настоящую стоимость 2,500 ден. ед., по-
лученных через три. года после того, как они пролежали в
банке при ежемесячной ставке процента 1 % (процент
сложный).
В данном примере приведена лишь ежемесячная процентная
ставка. В перерасчете на год она составит 12%. кроме то-
го, чис.по нарастаний будет ровно и. для рисчити лсуусiи
воспользоваться формулой (9).
Решение: РУ = 8 / (I+i/т = 2.500 0,71178 = 1.779,45
ден- ед-
Еще одна трудность возникает при работе с нецелочислен-
ными значениями процентной станки i и периода п. Для этого
используется спосой <пропорциональности частей>, согласно
которому разность будущих множителей прямо пропорцио-
нальна разности процентов.
Пример 9: Во что обратится банковский вклад размером в
2.000 ден. ед. при сложной процентной ставке равной 0,02 к
концу 81/4 лет?
Решение: В таблице 12.1 нет значения множит для пери-
ода времени, равного 8 1/4. Поэтому необходимо рассчи-
тать вклад по срочной процентной ставке на 8 лет и на
полученный результат добавить простой процент за 1/4
года.
РУц = 2.000 1.02 = 2.000 1,17166 = 2.343.32 ден. ед.
РУц =2.343,32 + (2.343,32 0,25 0,02) = 2343 ,32 + 11,72 =2.
2;81,
355,04
ден. ед.
Аннуитет
Аннуитет (Аппщiу) или долгосрочная финан-
совая рента представляет собой равновеликие платежи (посту-
пления), которые производятся (получаются) в равные проме-
жутки времени в течение датированного временного периода,
Каждый отдельный платеж, входящий в состав аннуитета, на-
зывается его членом,
К таким видам финансовых рент относят периодические по-
гашения кредита по компенсационным соглашениям, создание
амортизационного фонда, взносы по страхованию, выплаты
долга и т.д.
Вычисление аннуитета связано с решением двух ТЯПОБ за-
дач. Если момент оценки предшествует моменту платежа пер-
вого члена или совпадает с ним, то величина финансовой рен-
ты представляет результат учета всех ее членов и будет назы-
ваться настоящей стоимостью аннуитета.
Если момент оценки совпадает с моментом платежа послед-
него члена, то стоимость ренты представляет результат наро-
щения всех ее членов и будет называться будущей стоимостью
аннуитета.
Для определения настоящей и будущей стоимости аннуитета
соответственно, используются множители:
а = (1-У)/i = (1-(1+i))Ї/i - множитель процентного факто-
ра для настоящей стоимости аннуитета.
Здi = ((I+i)" - 1)/i - множитель процентного фактора для бу-
дущей стоимости аннуитета.
В современной литературе множитель Ад чаще всего обоз-
начается как РУIРА.д, а 5д/д = РУТРА.д , где - купонная
ставка, Исходя из этого формулы для расчетов аннуитета при-
нимают следующий вид:
Ад/, = К а/i или РУ = а РУIРА.д (12)
п/i = г - 5п/i или РУ = а- РУIРА (IЗ)
где: К и а- величина ренты (аннуитета); i и Ь. - купонный
процент.
Пример 1: Вкладник желает иметь в течение трех лет еже-
годный доход в 1.000 ден. ед. Ставка процента 0,05. Какова
настоящая стоимость аннуитета?
Решение: Необходимо по таблице 12.1 (четвертый столбец)
найти величину Ап(РУIРА) при пересечении 5 % и периода 3
и умножить на число ренты К(а), равному 1.000 ден. ед.
АЗ/Э = 1-000 2,7232 = 2723,25 ден. ед.
Вот как выглядит это решение по времени:
2.273,25 ден. ед. - настоящая стоимость аннуитета
136,16 деч. ед. -5% платежа первого года

РУ,
1.000 РУ1Р0.5;12 = 1.000 1.06167 = 1.061.67.
0.5:12
Общая сумма к концу года составит 3.373,98 +1.061,67
4.434,65 ден. ед.
2.859,41 ден. ед. - итог первого года
- 1.000 ден. ед. - выплата в первом году
1.859.41 ден. ед. - величина вклада начала второго года
+ 92,97 ден. ед. - 5 % платежа второго года
1.952,38 ден. ед. - величина вклада в конце второго года
- I.пПП При РП - ВГОГ В" т"п" тг""
952,38 ден. ед. - итог второго года
+ 47,63 ден. ед. - 5 % платежа третьего года
1.000 ден. ед. - величина вклада конца третього года
- 1.000 ден. ед. - виплата в третьем году
Пример 2: Определить накопленную сумму аннуитета по
ренте сроком в 8 лет при выплате я конце года 600 ден. ед.
Процент сложный, его ставка равна 0,04.
Решение: Необходимо по таблице 12.1 (третий сгЩбец)
найти величины 8ц при пересечении п= 8 а i = 4.
Пример 3: Инвестор поместил в банк 1.000 ден. ед. кроме
того, в конце каждого месяца он вносит дополнительно 200
ден. ед. Какая сумма образуется на счете инвестора через
год, если месячная ставка по аннуитету равна 6%, а месяч-
ная ставка по первоначальному вкладу - 0.5 %.
Решение: Сумма, образующаяся через год по вкладу будет
состоять во-первых, из будущей стоимости аннуитета в
200 ден. ед., производимого в течении 12 месяцев /периодов)
при 0,06, т.е.
РУп = 200 16.8699 = 3.373,98
Во-вторых, сумма в 1.000 ден. ед. в течении 12 месяцев (пе-
риодов) будет приносить процент по ставке, равной 0,005:
Пример 4: Определить настоящую стоимость аннуитета
при 5 % в котором совершаются платежи первые три года
по 2.000 ден. ед. в конце каждого, о последующие 4 года по
5.000 ден. ед. в конце года.
Решение: [5.000 - РУТРА - {(5.000 - 2.000) РУIРА5;3] =
5.000 5,7864 - 3.000 2,732 = 20.761.9 ден. ед.
С помощью аннуитета рассчитывается цена облигации. Дело
в том, что оценочной ценой облигации является настоящая сто-
имость договорных платежей, которые эмитент облигации обя-
зуется производить в определенные периоды времени, до мо-
мента погашения.
Обозначим С - количество ден, ед., выплачиваемых соглас-
но купонной ставке с названной периодичностью; Кгi - доход-
ность облигации; МУ - номинал облигации; Во - рыночная
цена; п - количество лет до срока погашения, тогда
В" = С - (РУТРА) + МУ (РУIР)
Пример 5: Доходность облигации К = 10%, договорные вы-
платы купонов осуществляются раз в год на сумму С = 100
ден. ед. (т.е. доходность равна купонной ставке, т.к.
1000: 100 = 10%). Номинал МУ = 1.000. п=10 лет. Опреде-
лить рыночную цену облигации.
Решение: Во= 100 6,1446 + 1.000 0.38554 = 1.000 ден. ед.. т. е.
рыночная цена равна номиналу.
Пример 6: Определишь рыночную цену облигации с купон-
ной ставкой 8%, которая выплачивается каждые полгода,
если рыночный доход по ней равен 12%, а срок до погаше-
ния - 10 лет. Номинал облигации равен 1.000 ден. ед.
Решение: Определим в первую очередь величину купонного
платежа. С = Т-МУ / т, где г - ставка купонного процен-
та, т - количество выплат по купону.
В = (т МУ/т) (РУ1РА) + МУ(РУ1Р) = 0,08 500 11,4699 +
1.000 0,31180 = 458,8 + 311.8 = 770,6 ден. ед.
Литература
Лупский Н. С. Высшие финансовые вычисления. М., 1916.
Четыркин Е.М. Финансовые вычисления по внешнеэкономической дея-
тельности. М., 1984.
Четыркин ЕМ., Васильева Н.Е. Финансово-экономические расчеты:
справочное пособие. М., 1990.
Роiiагсi А. Ап IпIгосIисНоп Iо МаЛетаIiс оГ Рiпапсе. Регдатоп Ргевз,
1977.
Приложение 1
Виды современных валютных курсов
Валюта привязана к:
ДОЛЛАР США
ФРАНЦ.ФРАНК ДРУГИЕ ВАЛЮТЫ
Афганистан Бенин Бутан (инд. рупия)
Ангола Буркина-Фасо Лесото (рэнд ЮАР)
Антигуа Камерун Свазиленд (рэнд ЮАР)
Багамы ЦАР Тонга (Австр. долл)
Барбадос ЧАД
Белиз Коморские о-ва
Джибути Конго
Доминик.рсп. КотдИвуар
Эфиопия Экв. Гвинея
Гренада Габон
Гайана Мали
Гаити Нигер
Гондурас Сенегал
Ирак Того
Ямайка
Либерия
Никарагуа
Оман
Панама
Перу
Санта-Люсия
Сен-Винсент
Сьерра-Лионе
Судан
Суринам
Сирия
Тринидад и Тобаго
Вьетнам
Араб. Респ. Йемен
Нар. дем. Рее. Йемен
Валюта привязана к:
СДР
Бурунди
Иран
Ливия
Руанда
Сейш. о-ва
Замбия
ДРУГИМ КОРЗИНАМ
Алжир
Австрия
Бангладеш
Ботсвана
Капо Верде
Кипр
Фиджи
Финляндия
Венгрия
Исландия
Израиль
Иордания
Кения
Кувейт
Малави
Малайзия
Мальта
Мавриний
Мозамбик
Непал
Норвегия
Папуа-Новая Гвинея
Польша
Румыния
Сан-Томе и Принсипи
Солом, о-ва
Сомали
Швеция
Танзания
Таиланд
Уганда
Зап. Самоа
Зимбабве
Вануату
Свободное Плавание
СКОЛЬЗЯЩИЙ УПРАВЛЯЕМОЕ ПАРИТЕТ ПЛАВАНИЕ НЕЗАВИСИМОЕ ПЛАВАНИЕ
Бразилия Китай Аргентина
Чили Колумбия Коста-Рика Доминик. Австрия Боливия
Мадагаскар республика Канада
Португалия Эквадор Гамбия
Египет Гана
Сальвадор Гватемала
Греция Япония
Гвинея Ливан
Гвинея- Мальд.о-ва
Бисау Новая
Индия Зеландия
Индонезия Нигерия
Корея Парагвай
Лаос Филиппины
Мавритания ЮАР
Мексика Велико-
Марокко британия
Пакистан США
Сингапур Уругвай
Шри Ланка Венесуэла
Тунис Заир
Турция
Югославия
Ограниченное плавание
ОБОСОБЛЕННОЕ
ПЛАВАНИЕ
СОВМЕСТНОЕ
ПЛАВАНИЕ
Бахрейн
Катар
Саудовская Аравия
Объединенные
Арабские
Эмираты
Бельгия
Дания
Франция
ФРГ
Ирландия
Италия
Люксембург
Нидерланды
Испания
8-560
Продукт Ед. Цена
Дата
Страна
Приложение 2
МИРОВЫЕ ЦЕНЫ НА НЕКОТОРЫЕ ТОВАРЫ
В ДОЛЛ.
Продукт Ед. Цена Дата Страна Рынок
Алюминий Ц/Ф69.30 ян. 90 Канада Англия
Бананы 20.65 м Л.Америка Порты США
Бокситы Д/т 164.71 1987 Гайана Балтимор
Говядина ц/ф 126.31 ян. 90 все страны Порты США
Масло Ц/ф 149.49 1988 Нов.
Зеландия Лондон
Уголь Д/т 43.02 сен. 89 Австралия
Какао-
бобы Ц/ф 45.13 ян.90 все
страны Н-Й Лондон
Кокосов. ", 19.64 > Филиппины Н-Й
масло 61.900 дек. 89 все страны Н-Й
Кофе " 107.30 ян.90 Англия Лондон
Медь Д/т 66290.00 " Филиппины Европа
Копра Ц/ф 74.351 п США Ливерпуль
Хлопок д/унц409.32 -"- все страны Лондон
Золото д/т 933.00 1987 Нигерия Лондон
Арахис " 903.00 ян.90 все страны Европа
Арах.
масло Ц/ф 92.70 я США Чикаго
Кожа Д/т 28.700 л Бразилия ПСМ
Железо > 390.00 1) Бангладеш Читтагонг
Джут Ц/ф 111.90 Я Нов.
Зеландия Лондон
Баранина-"- 32.07 Я Англия Лондон
Свинец " 37.62 1985 США Миннеаполис
Льняное
масло Д/мЗ 210.5 ян.90 Малайзия Токио
Лес буш 2.69 п США США
Маис дл. 140.84 1986 Индия Порты США
Марганец кор 488.06 ноя. 89 США Н-И
Газети. Ц/ф 320.06 ян.90 Англия ПСМ
бумага я 219.1 1986 Малайзия Н-Й
Никель чёрный 19.68 ян.90 40.50 -"- мировая цена Марокко Касабланка
перец Д/т 97.506 ноя. 89 Канада Ванкувер
Нефть ц 327.14 дек. 89 Филиппины Токио
фосфаты д/т 401.2 США Новый Орлеан
Поташ ц/ф 49.10 -"- все
страны Н-Й
фанера д/ф 4.32 --0 США Порты США
1 Рис ц 533.30 -"- США Н-И
i Каучук т 690.02 ян.90 В. Африка Европа
; Креветки -"- 104.20 дек. 89 США Вост. порты США
"го я 242.00 ян.90 США Роттердам
Сизаль я 417.0 -- все
страны Голландия
Сорго ф 23.600 ян.90 Импортная цена ЕЭ
Соя т 126.03 ноя. 89 США Вост. порты США
Соевое
масло ф 114.70 ян.90 Лондонский
аукцион
Сахар -Ї- 301.73 -"- все страны Лондон
Супер-
фосфат я 174.00 ноя. 89 США все рынки
Чай Д/т 116.0 ноя. 89 все страны Европа
Олово д/б 4.57 ян.900 США Вост. порты США
Табак кг 400.00 -- Австрал. Англия-Н-З
Мочевина -- 832.0 -"- .. >
Пшеница ц/ф 58.69 -- Англия Лондон
Примечания:
1 фунт/ф/ = 453.6 кг
1 длинная тонна/дл.т/ = = 1016 кг
1 метрическая тонна/т/ = 1000 кг
1 короткая тонна/кор, т/ = 907.2 кг
1 унция/унц/ = 28.3 г
1 тройская унция/тр, унц/ = 31.1 г
1 бушель/буш/ = 35.2 л
1 баррель/бар/ = 159 л

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34