Правило таково: умножь число рассматриваемых целых чисел на число, которое больше его на единицу, полученный результат подели пополам, а полученное число возведи в квадрат. Вы легко сможете убедиться в том, что эта формула верна с помощью так называемой «математической индукции». Это значит:
нужно предположить, что ваша формула верна для определенного числа, и доказать, что в этом случае она верна и для следующего числа. Докажем, что наша формула верна для 1. Следовательно, она верна для 2, и для 3, и т. д. Это весьма эффективный метод, с помощью которого были доказаны большинство свойств целых чисел. И часто, как и в приведенном выше примере, это позволяет вам сформулировать предположение в виде теоремы.
Рассмотрим другой вид задач, а именно задач «комбинаций и перестановок». Довольно часто они приобретают значимость, но мы начнем с простых примеров. Предположим, хозяйка хочет организовать вечер с ужином, на который она хотела бы пригласить 20 человек, но одновременно она может пригласить только 10. Каковы же варианты выбора? Очевидно, что существует 20 вариантов выбора первого гостя; когда он выбран, остается 19 вариантов выбрать второго и т. д. Когда выбрано 9 гостей, остается 11 вариантов, следовательно, последний гость может быть выбран, исходя из 11-ти вариантов. Итак, полное число вариантов равно
20 х 19 х 18 х 17 х 16 х 15 х 14 х 13 х 12 х 11.
Это довольно большое число; просто удивительно, почему хозяйки не путаются. Мы можем упростить ответ, используя так называемые «факториалы».
Факториал 2 обозначает произведение всех чисел до 2, т. е. 2;
Факториал 3 обозначает произведение всех чисел до 3, т. е. б;
Факториал 4 обозначает произведение всех чисел до 4, т. е. 24;
Факториал 5 обозначает произведение всех чисел до 5, т. е. 120;
и т. д.
Сейчас число вариантов выбора в нашем примере представлено факториалом 20, разделенным на факториал 10. Это задача и называется задачей «комбинаций». Общее правило таково, что число способов, которыми вы можете выбрать m вещей из n вещей (n» m), равно факториалу n, разделенному на факториал m.
Теперь рассмотрим «перестановки», где главная проблема заключается не в выборе вещей, а в их организации. Предположим, наша хозяйка выбрала 10 своих гостей и думает о том, как их посадить за столом. Она и ее муж сядут, как всегда, по бокам стола, а гости – на остальные 10 мест вокруг стола. Таким образом, для первого гостя существует 10 вариантов, для второго – 9 и т. д.; сумма вариантов равна факториалу 10, т. е. 3 628 800. К счастью, социальные правила, например, посадить мужчин напротив женщин или посадить мужей отдельно от жен, уменьшают варианты до 4 или 5.
Рассмотрим еще одну задачу в разделе «комбинации». Предположим, у вас есть некоторое количество предметов, и вы можете выбрать те, что вам нравятся – все или не одного. Сколько же у вас вариантов выбора?
Если у вас есть один предмет А, то у вас 2 варианта выбора – A или ничего.
Если у вас есть два предмета А и В, то у вас 4 выбора – А и В, или А, или В, или ничего.
Если у вас есть три предмета A B и C, то у вас 8 вариантов выбора:
A, B и C, A и B, A и C, B и C, A В, С или ничего.
Если у вас есть четыре предмета, то у вас 16 вариантов выбора. Общее правило таково, что число вариантов выбора равно 2, умноженному на себя столько раз, сколько предметов. Это, на самом деле, очевидно, потому что у вас есть два варианта по отношению к каждому предмету, а именно выбрать его или не выбрать, и когда вы сделали свой выбор по отношению к одному предмету, у вас остается полная свобода в отношении других.
Задачи комбинаций и перестановок имеют огромные возможности применения. Одна из них – это теория наследственности Менделя. Первые биологи, возродившие работы Менделя, практически не знали математики, но они обнаружили определенные соотношения чисел, постоянно фигурировавшие в опытах. Один из них рассказал об этом другу-математику, который сразу отметил, что соотношения этих чисел соответствуют некоторым соотношениям чисел, фигурирующим в теории комбинаций, и когда это было подмечено, то сразу стала видна и причина. Сегодня в теории Менделя широко используется математика. Возьмите, например, такую задачу: если определенная рецессивная характеристика дает вам преимущество в борьбе за существование, то будет ли она стремиться стать доминантной в популяции, в которой она появляется лишь изредка? А если это так, то сколько потребуется времени для того, чтобы определенный процент популяции приобрел эту характеристику, если мы знаем, какой процент популяции обладает этой характеристикой сегодня? Подобные проблемы часто имеют большое практическое значение, например, по отношению к распространению слабоумия или других психических дефектов.
Большая заслуга современной, по сравнению с античной, математики заключается в том, что она может оперировать с постоянными изменениями. Единственный вид движения, с которым могла оперировать античная или средневековая математика, было равномерное движение по прямой линии или по кругу. Аристотель говорил, что для земных тел «естественно» движение по прямым линиям, а для небесных тел – по кругу; эта точка зрения сохранялась вплоть до Кеплера и Кишлея, показавших, что она не соответствует фактам. Техническим инструментом для оперирования с постоянным изменением является дифференциальное и интегральное исчисления, изобретенные независимо друг от друга Ньютоном и Лейбницем.
Использование вычислений можно проиллюстрировать, рассмотрев, что имеется в виду под понятием «скорость». Предположим, что вы сели в поезд, который с опозданием вышел с одной станции и все еще набирает скорость, и вы хотите знать, с какой скоростью он движется в настоящий момент времени. Предположим далее, что вы знаете, на каком расстоянии расположены телеграфные столбы, и можете подсчитать расстояние, которое прошел поезд за определенное время. Допустим, вы обнаружили, что за секунду, истекшую с того момента времени, когда вы захотели узнать скорость поезда, он прошел 44 фута. 44 фут/с – это 30 миль/ч, поэтому вы можете сказать, что «за час мы проезжаем 30 миль». Но несмотря на то, что вы подсчитали среднюю скорость за секунду, эта скорость не равна той скорости, с которой поезд шел в самом начале этой секунды, потому что он ускорялся и к концу второй секунды шел уже с большей скоростью. Если бы у вас была возможность делать достаточно точные измерения, то вы обнаружили бы, что в первую четверть секунды скорость поезда была 10 футов, а не 11. Следовательно скорость поезда в начале секунды была скорее 40 футов, а не 44. Но 40 фут/с – это все равно слишком много, потому что даже за эту четверть секунды произошло некоторое ускорение. Если бы у вас была возможность измерять точно малые отрезки времени и расстояния, то чем короче были бы эти отрезки времени, тем более точны вы были бы в своих расчетах. Однако вы никогда не будете совершенно точны.
Что же тогда понимается под скоростью поезда в настоящий момент времени? Ответ на этот вопрос можно дать лишь с помощью дифференциального исчисления. Вы составляете математический ряд все более и более точных аппроксимаций измерений скорости поезда за все более и более короткие промежутки времени. Если вы берете одну секунду, то приблизительное измерение скорости поезда равно 44 футам; если вы берете четверть секунды, то – 40 футам. Предположим, что на железнодорожных станциях стоят люди с секундомерами; они подсчитали, что за десятую долю секунды скорость поезда была 39,2 фут/с; за двенадцатую долю секунды – 39,1 и т. д. Вообразим невозможную точность измерения и наблюдения и предположим, что наблюдатель подсчитал, что скорость поезда всегда несколько выше 39, но никогда не превышает любое число, большее чем 39. В таком случае 39 называют «пределом» ряда чисел, и мы говорим, что 39 фут/с – это скорость поезда в настоящий момент времени. Это определение скорости в момент времени.
«Дифференциальное исчисление» – математический инструмент, с помощью которого, зная расположение тела в каждый момент времени, можно измерить его скорость в каждый момент времени. «Интегральное исчисление» имеет дело с противоположной задачей: зная направление и скорость движения тела в каждый момент времени, можно вычислить, где оно будет в каждый момент времени, исходя из первоначальной точки движения. Обе разновидности исчисления называются «исчислением».
Простым примером задач, решаемых с помощью интегрального исчисления, является так называемая «кривая погони». Фермер и его собака находятся на квадратном поле, углы которого A, B, C, D. В первом варианте собака находится в точке A, а фермер – в точке В. Фермер движется к точке С и видит, что собака с постоянной скоростью бежит к тому месту, в котором в данный момент времени находится ее хозяин. По какой кривой движется собака?
Более показательным примером является движение планет. Посредством наблюдения Кеплер доказал, что траекторией движения планет вокруг Солнца является эллипс, и открыл взаимосвязь расстояния планеты до Солнца и времени, в течение которого эта планета совершает полный оборот вокруг Солнца. Это открытие позволило Ньютону с помощью дифференциального исчисления определять скорость движения планеты в любой точке ее траектории; эта скорость непостоянна – она увеличивается по мере приближения планеты к Солнцу. Затем, еще раз использовав дифференциальное исчисление, Ньютон смог определить ускорение планеты в каждый момент времени, т. е. изменение ее скорости и по величине, и по направлению. Он обнаружил, что любая планета в любой момент времени обладает ускорением в направлении Солнца, которое обратно пропорционально квадрату ее расстояния до Солнца.
Затем с помощью интегрального исчисления Ньютон проанализировал другую задачу: если в любой момент времени тело обладает ускорением в направлении Солнца, которое обратно пропорционально квадрату его расстояния до Солнца, то по какой траектории оно будет двигаться? Ньютон доказал, что тело за равные промежутки времени будет покрывать равные по площади конические сечения. Наблюдение показало, что для планет и некоторых комет этим коническим сечением является эллипс; для некоторых других комет траекторией может быть гипербола. Это дополнение стало завершающим этапом в доказательстве закона тяготения Ньютона.
Однако исчисление применяется не только к изменению во времени. Оно применимо в любом таком случае, когда одна величина является «функцией» другой. Понятие «функции» очень важно, и я попытаюсь его объяснить.
Возьмем изменяющуюся величину. Другая величина называется ее «функцией» в том случае, если при заданном значении одной величины значение другой нужно вычислить. Например, если вам нужно перевезти определенное количество нефти на поезде, то число необходимых для этой перевозки вагонов является «функцией» количества нефти; если вам нужно накормить армию, то количество необходимых продуктов является «функцией» числа солдат. Если тело падает в вакууме, то расстояние, преодолеваемое им при падении, является «функцией» времени, в течение которого оно падало. Число квадратных футов ковра для данной квадратной комнаты является «функцией» длины стены комнаты, так же как и количество жидкости, которую можно залить в кубический контейнер. В одном случае функцией является квадрат, в другом – куб: для комнаты, длина стены которой в два раза больше, чем в данной, нужен в четыре раза больше ковер; а в контейнер, который в два раза выше данного, можно залить в восемь раз больше жидкости, если и другие его параметры также увеличены в два раза.
Некоторые функции очень сложны. Ваши налоги являются функцией вашего дохода, но лишь специалисты знают, какой конкретно функцией. Предположим, какой-то математически образованный специалист предложил использовать простую функцию, например, ваши налоги должны быть пропорциональны квадрату вашего дохода. Он дополнил свое предложение другим: ни один доход после уплаты налогов не должен превышать 25 000$. Как же эти предложения будут работать? Налоги должны быть одной сотой или тысячной частью квадрата вашего дохода в долларах. Для доходов, меньших, чем квадратный корень из 1000$ (это примерно 32$), налог должен быть меньше одного цента, и его невозможно будет собрать; для доходов в 1000$ налог будет 10$; для 2000$ – 40$; для 10 000$ – 1000$ и для 50 000$ – 25 000$. После этих выплат любое увеличение вашего дохода сделает вас беднее. Если ваш доход равен 100 000$, то налог будет равен вашему доходу, и вы будете разорены. Не думаю, что кто-либо будет защищать такую налоговую политику.
Для любой функции переменной x небольшое увеличение x будет сопровождаться небольшим увеличением или уменьшением функции, если функция дискретная. Например, пусть х – радиус круга, а функция – площадь круга, пропорциональная квадрату радиуса. Если радиус несколько увеличивается, то увеличивается площадь круга;
увеличение достигается умножением увеличения радиуса на окружность. Дифференциальное исчисление предоставляет степень (rate) увеличения функции при заданном небольшом увеличении переменной. С другой стороны, если вам известна степень увеличения функции относительно переменной, то интегральное исчисление покажет вам, каково будет в целом увеличение или уменьшение функции при изменении значений переменной. Самым простым из важнейших примеров этому является падение тела в вакууме. В данном случае ускорение тела является постоянной величиной; иными словами, увеличение скорости в любой данный момент времени пропорционально времени. Следовательно, скорость в любой момент времени пропорциональна времени, в течение которого тело падает. Исходя из этого интегральное исчисление показывает, что расстояние, преодолеваемое им при падении, пропорционально квадрату времени падения. Это можно доказать, и не используя интегрального исчисления, что было сделано Галилеем; однако в более сложных случаях интегральное исчисление является ключевым механизмом.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10