Вот как формулируется аксиома Евдокса в виде IV
определения V книги "Начал": "Говорят, что величины имеют отношение между
собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга". С помощью этой
аксиомы Евклид хочет найти возможность устанавливать отношения не только
между соизмеримыми, но и между несоизмеримыми отрезками (величинами) и тем
самым нейтрализовать те затруднения, которые были порождены открытием
несоизмеримости. Но, как отмечает В. Вилейтнер, аксиома Евдокса у Евклида
решает и еще одну задачу, а именно: "Евклид хочет лишить права находиться в
отношении "бесконечно малые" и "бесконечно большие" образы, как, например,
введенные уже древними философами (Демокрит) последние частицы (атомы,
неделимые) отрезка или же всю бесконечную прямую". Греческим математикам
были известны так называемые роговидные углы, т.е. углы, образованные
окружностью и касательной (или же двумя кривыми). Но криволинейные и
прямолинейные углы не находятся между собой ни в каком отношении -
роговидный угол всегда меньше любого угла. Иначе говоря, "роговидные углы
по отношению к любому прямолинейному являются актуальными бесконечно
малыми, или неархимедовыми, величинами". Аксиома Евдокса оказывается
непосредственно связанной с необходимостью избежать парадоксов актуально
бесконечного, которые были выявлены Зеноном и вызвали стремление избежать
их не только у математиков - Евдокса, Евклида, Архимеда, но и у Аристотеля,
положившего принцип непрерывности (аналогичный аксиоме непрерывности
Евдокса) в основу античной физики.
Как видим, намерения Николая Кузанского радикальны: он не просто ставит под
сомнение основательность того фундамента, на котором строилась греческая
математика и физика, - он убежден, что этот фундамент построен не с помощью
высшей способности - интеллекта, но с помощью низшей - рассудка, а потому
подлежит пересмотру. Николай Кузанский вновь возвращает нас к Зенону с его
парадоксами бесконечности, с тем, однако, различием, что Зенон видел в
парадоксах орудие разрушения (ложного знания), а Кузанец видит в парадоксе
средство созидания, с помощью которого можно заново создать фундамент
человеческого знания (правда, само это знание имеет парадоксальный характер
- оно есть "умудренное неведение"). "Если исследуешь математику, - пишет
он, - устанавливай одно более интеллектуальное (математическое) искусство,
другое - как бы чувственное, а среднее - как бы рассудочное. То же в
арифметике, то же в геометрии, то же в музыке".
Критикуя тех, кто возводит в высшую норму мышления законы рассудка, Кузанец
чаще всего имеет в виду Аристотеля и перипатетиков. И в самом деле,
Аристотель сделал очень много для того, чтобы создать научное знание - т.е.
знание достоверное и непротиворечивое - о предметах эмпирического мира: он
приложил большие усилия для опровержения Платона, убежденного в том, что
наука о чувственном мире, в котором все подвержено постоянному изменению,
уничтожению и возникновению, принципиально невозможна.
Может возникнуть впечатление, что, критикуя рассудочные основания античной
математики, Николай Кузанский отвергает Аристотеля и обращается к традиции
Платона. В действительности в своей критике оснований античной математики
Кузанец оказывается едва ли не дальше от Платона, чем от Аристотеля. И в
самом деле, Платон считал, что среди наук самым точным и достоверным
знанием обладает математика, и прежде всего арифметика, наука о числах.
Так, различение четного и нечетного, с которого начинается арифметика
пифагорейцев, Платон считал столь достоверным и существенным, что не мог
отнести его только к сфере рассудка как низшей интеллектуальной способности
по сравнению с умом; не случайно Платон положил это различение также и в
основу своей философии в виде различия самотождественного и иного,
"единицы" и "беспредельной двоицы". Специфика платоновского и
неоплатонического отношения к математике в том и состояла, что
математическое знание у них ставилось выше всякого знания о чувственном
мире, не могущего претендовать на большее, чем быть только "мнением".
Математика поэтому в традиции платоновской Академии всегда выступала как
"органон" философии, и ее точность (особенно это касается арифметики) была
вне всякого подозрения.
Напротив, Кузанец характеризует математическое знание, получившее свое
воплощение в "Началах" Евклида, как приблизительное в принципе и объявляет
различение рационального и иррационального (из которых первое имеет
"природу единого", а второе - "природу иного", если говорить языком
Платона, Плотина и Прокла) имеющим силу лишь для низшей познавательной
способности - рассудка. Тем самым Кузанец решительно пересматривает
основания платоновско-пифагорейской традиции. При этом его постоянная
апелляция к числу и числовой символике отнюдь не свидетельствует о
противном. Во-первых, тут мы видим еще один пример столкновения разных
тенденций в мышлении Николая Кузанского: ему не удается до конца провести
то переосмысление, которому он подвергает даже наиболее близких ему
античных философов, в результате одни принципы он пересматривает и
отменяет, но другие, хотя они и оказываются явно связанными с первыми и
потому также должны подлежать пересмотру, пока остаются у него почти
неизменными. Поэтому у Кузанца можно встретить и утверждения, под которыми
подписался бы Плотин или Прокл, и такие утверждения, которые противоречат
принципам неоплатонизма. Это относится не в последнюю очередь именно к
философскому обоснованию математики. И во-вторых, само понятие числа
Кузанец толкует символически. "Я убежден, - говорит он, - что они
(пифагорейцы. - П.Г.), говоря о числе, имели в виду не число математическое
и происходящее из нашего ума - ведь само собой понятно, что это число не
есть принцип какой-нибудь вещи - но что они символически и доступным для
рассудка образом (rationaliter) говорили о числе, происходящем из
божественного ума, в отношении которого математическое число есть только
образ".
Как видим, Николай Кузанский хочет иметь дело с числом, происходящим из
божественного ума, а потому отвергает основы прежней математики, имеющей
рассудочное происхождение. Математика для Кузанца, пишет Эрнст Кассирер,
становится "подлинным, единственно истинным и "точным" символом
спекулятивного мышления и спекулятивного созерцания единства
противоположностей... Если учение о Боге отказывается... от схоластической
логики, от логики родовых понятий, подчиняющейся закону противоречия и
исключительного третьего, то оно требует нового типа логики -
математической, которая не исключает совпадения противоположностей, а как
раз нуждается в самом этом совпадении - совпадении абсолютно-наибольшего и
абсолютно-наименьшего как в постоянном принципе и необходимом средстве
прогрессирующего познания".
С помощью идеи тождества единого и бесконечного и рассмотрения бесконечного
как меры Кузанец, таким образом, приводит как бы во взвешенное состояние
вообще всю прежнюю математическую науку, а не отдельные ее положения.
Начиная с Николая Кузанского, понятие бесконечного начинает сопрягаться с
понятием единицы и у самих математиков, что мы и увидим далее при
рассмотрении "Геометрии неделимых" Кавальери, а также и у Галилея. Не менее
существенным для становления механики и математики XVII в. было также то
уравнение в правах приблизительного и точного знания, которое мы видим у
Кузанца, ведь именно Кузанец объявил приблизительным математическое знание,
почитавшееся издревле за точное.

в) "Привативная" бесконечность Вселенной

Тезис о бесконечном как мере вносит существенные преобразования также и в
астрономию. Поскольку, как отмечает Кузанец в духе античной науки,
"соразмерности между бесконечным и конечным не бывает", а всякое познание -
это (опять-таки в духе античной философии) установление соразмерности, то
строгое (точное) познание чего бы то ни было, кроме "бесконечной прямизны",
этой "точнейшей меры всех сущностей", абсолютно исключено (вывод, как
видим, прямо противоположный смыслу античного понимания науки). Если уж
геометрия и даже арифметика не могут дать нам точного знания, то что же
тогда сказать об астрономии, имеющей дело не с фигурой или числом, а с
движением небесных тел, а здесь уже, конечно, достичь точного знания (в его
античном и средневековом истолковании) значительно труднее. И Кузанец
рассуждает последовательно, в соответствии с прежними своими допущениями,
что "никакое движение не может быть равно другому и одно не может быть
мерой другого, раз мера неизбежно отличается от измеряемого".
Что касается астрономии, то здесь утверждение Николая как раз не является
чем-то новым и неожиданным: ни в античности, ни в средние века не
утверждали, что астрономия по точности своих вычислений может сравниться с
арифметикой. Поскольку астрономия прибегает к измерению и неизбежно имеет
дело с измерительными приборами, то ее расчеты принципиально носят
приблизительный характер. Поэтому, видимо, ни один астроном не стал бы
спорить с утверждением Николая Кузанского, что "в приложении к астрономии
вычислительное искусство лишено точности, раз оно исходит из предпосылки,
что движением Солнца можно измерить движение всех других планет. Положение
неба, будь то какое-либо место, восход или заход созвездий, возвышение
полюса и подобные вещи, точно познать тоже невозможно, а поскольку и
никакие два места не согласуются в точности по времени и положению, то
ясно, что частные суждения на основании звезд далеки от точности".
Но, хотя утверждение Кузанца применительно к астрономии не содержит в себе
ничего необычного, тем не менее предпосылки, на которых оно построено,
представляют собой нечто действительно новое. Ведь Кузанец утверждает, что
приблизительность астрономических расчетов в принципе ничем не отличается
от приблизительности расчетов геометрии и арифметики. А это для того
времени переворот в понимании науки. И не только этот вывод по отношению к
астрономии следует из допущения, что мерой конечного должно быть
бесконечное. Если в области арифметики и геометрии бесконечное как мера
превращает знание о конечных соотношениях в приблизительное, то в
астрономию эта новая мера вносит, кроме того, еще и принцип
относительности. Происходит это следующим образом. Так как точное
определение размеров и формы мироздания может быть дано лишь через
отнесение его к бесконечности, то в нем не могут быть различены центр и
окружность. "Из-за необходимого совпадения минимума с максимумом, - пишет
Николай, - такой центр мира совпадает с внешней окружностью. Значит, у мира
нет и внешней окружности. В самом деле, если бы он имел центр, то имел бы и
внешнюю окружность, а тем самым имел бы внутри самого себя свои начало и
конец".
Рассуждение Кузанца, помимо всего прочего, интересно и в том отношении, что
оно задним числом выявляет далеко не само собой понятную связь между
философской категорией единого и космологическим представлением о наличии
центра мира, а тем самым - о его конечности. Отождествление единого и
беспредельного, проведенное Николаем, разрушает и ту картину космоса, из
которой исходили не только Платон и Аристотель, но и Птолемей и Архимед и
которая просуществовала на протяжении почти всего средневековья, хотя,
правда, и была несколько раз поставлена под вопрос в период зрелой
схоластики. Для античной науки и большинства представителей античной
философии космос был очень большим, но конечным телом. А признак конечности
тела - это возможность различить в нем центр и периферию, "начало" и
"конец". Согласно Кузанцу, "подобное далеко от истины. Но если невозможно,
чтобы мир был заключен между телесным центром и внешней окружностью, то
непостижим этот мир, и центр и окружность которого - Бог; хотя этот мир не
бесконечен, однако его нельзя помыслить и конечным, поскольку у него нет
пределов, между которыми он был бы замкнут!"
Вспомним, что предел, как его понимали античные греки, - это мера. Но у
Кузанца мерой, пределом является беспредельное, бесконечность. А познание с
помощью такой меры тождественно невозможности познания. Поэтому "мир, его
движение и его форму постичь невозможно".
Перелом в мышлении, произведенный Николаем Кузанским по отношению к
античной - в том числе и неоплатонической - философии, а также по отношению
к средневековому схоластическому мышлению, особенно ориентированному на
философию Аристотеля, привел к очень важным и далеко идущим последствиям.
Значение этого перелома было основательно рассмотрено в интересной работе
Г. Гаймсета, известного немецкого философа и историка культуры. Согласно
Гаймсету, в лице Кузанца мы встречаем подлинное начало философии и науки
нового времени. Однако сам Николай при этом, по убеждению Гаймсета,
представляет собой средневекового мыслителя, продолжающего то направление
развития средневековой теологии, которое пробивает себе дорогу уже у Дунса
Скота и Мейстера Экхарта. Сущность этого направления составляют поиски
адекватного понятийного выражения того содержания христианского вероучения,
которое осмыслялось философски в X-XIII вв. в формах античного мышления
главным образом благодаря усвоению схоластикой аристотелевской философии.
Античное же мышление, с его, как пишет Гаймсет, "ценностным предпочтением
конечного", не позволяет адекватно выразиться христианской идее личного
Бога; христианское понятие творения не может быть согласовано с "дуализмом
греческой философии".
Таким образом, согласно Гаймсету, характерная для Кузанца тенденция к
отождествлению единого и беспредельного - двух противоположных начал в
философии неоплатоников и Аристотеля - вызвана стремлением христианского
теолога преодолеть свойственный античному мышлению дуализм;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75