а так как число сторон не
ограниченно, а бесконечно, то и число промежутков между ними также
бесконечно; бесчисленные точки в одном случае заняты все, в другом случае
часть их занята, а часть пуста".
Здесь Галилей делает одно допущение, на котором уже и держится все
последующее его доказательство, а именно что круг представляет собой
многоугольник с бесконечно большим числом сторон. Такое допущение не
принималось математиками ни в античности, ни в средние века, оно
дозволялось только в логистике для упрощения расчетов, которые всегда
принимались как приблизительные. Допущение предельного перехода
многоугольника с как угодно большим, но конечным числом сторон в фигуру
другого рода - круг - позволяет Галилею ввести в оборот понятие актуальной
бесконечности, вместе с которым в научное построение проникают парадоксы -
и на этих-то парадоксах, которые прежде в математику пытались не впускать,
как раз и работает та новая ветвь математики, которая во времена Галилея
носит название "математики неделимых", а впоследствии получает название
исчисления бесконечно малых. В "Беседах" Галилея мы наглядно можем видеть,
как формируется методологический базис этой новой математики, возникшей
вместе с механикой нового времени как ее математический фундамент.
Весь парадокс теперь сосредоточивается в понятии "пустых точек", которые
представляют собой промежутки, лишенные величины. Введение этих "пустых
точек" служит для Галилея средством преодоления противоположности
непрерывного и дискретного - противоположности, которую считал
принципиальной для науки Аристотель и на которой базируется его физика и
философия в той же мере, в какой и математика Евклида.
Насколько эта противоположность была принципиальна также и для
средневековой науки, свидетельствует, в частности, трактат Брадвардина о
континууме, где показано, к каким парадоксам и противоречиям приводит
попытка составления континуума из неделимых (т.е. из точек).
Галилей показывает, какие новые возможности открываются перед научным
мышлением, если принять понятие актуальной бесконечности. "...Разделяя
линию на некоторые конечные и потому поддающиеся счету части, нельзя
получить путем соединения этих частей линии, превышающей по длине
первоначальную, не вставляя пустых пространств между ее частями; но,
представляя себе линию, разделенную на неконечные части, то есть на
бесконечно многие ее неделимые, мы можем мыслить ее колоссально растянутой
без вставки конечных пустых пространств, а путем вставки бесконечно многих
неделимых пустот".
Таким путем вводит Галилей чрезвычайно важное для науки XVII-XVIII вв.
понятие неделимого, вызвавшее серьезную и очень плодотворную дискуссию
между математиками, философами, физиками на протяжении более чем двухсот
лет. Как видим, это новое понятие вводится с помощью математического
доказательства и базируется на приеме, введенном в философское мышление
Николаем Кузанским, - на приеме предельного перехода, представляющем собой
как бы псевдонаглядную демонстрацию принципа совпадения противоположностей.
Именно псевдонаглядную, потому что не только нашему наглядному
представлению, но даже нашему мышлению не под силу понять совпадение
противоположностей, о котором ведут речь и Кузанец, и Галилей.
Заметим, как называет Галилей это новорожденное понятие-парадокс. Он дает
ему несколько имен, каждое из которых несет на себе след того приема мысли,
с помощью которого это понятие появилось на свет: "пустые точки",
"неделимые пустоты", "неконечные части линии" и, наконец, просто
"неделимые", или "атомы".
Вот тут, на исходе XVI в., впервые действительно появляются те самые
"математические атомы", или "амеры", которые С.Я. Лурье нашел у Галилея и
его ученика Кавальери и попытался - но без достаточных доказательств -
обнаружить также и у Демокрита. К такому сопоставлению С.Я. Лурье побудили,
вероятно, некоторые высказывания того же Галилея.
Получив понятие "неделимое" в рамках математического рассуждения, Галилей,
однако же, показывает, что это понятие вполне работает также и в физике,
более того, как мы помним, даже и математическое доказательство было
предпринято им с целью найти средства для решения физической проблемы
связности тел. "То, что я сказал о простых линиях, - пишет Галилей, -
относится также и к поверхностям твердых тел, если рассматривать их как
состоящие из бесконечного множества атомов. Если мы разделим тело на
конечное число частей, то, без сомнения, не сможем получить из них тела,
которое занимало бы объем, превышающий первоначальный, без того, чтобы
между частями не образовалось пустого пространства, то есть такого, которое
не заполнено веществом данного тела; но если допустить предельное и крайнее
разложение тела на лишенные величины и бесчисленные первичные составляющие,
то можно представить себе такие составляющие растянутыми на огромное
пространство путем включения не конечных пустых пространств, а только
бесконечно многих пустот, лишенных величины. И таким образом допустимо,
например, растянуть маленький золотой шарик на весьма большой объем, не
допуская конечных пустот, - во всяком случае, если мы принимаем, что золото
состоит из бесконечно многих неделимых".
Не удивительно, что понятие "неделимое", или "бесконечно малое", на
протяжении многих десятилетий отвергалось большим числом математиков и
вызывало множество споров у физиков. Ведь в сущности Галилей в приведенном
выше отрывке узаконивает апорию Зенона, служившую для элеатов средством
доказательства того, что актуально бесконечное множество вообще не может
быть мыслимо без противоречия, превращая ее из орудия разрушения в орудие
созидания, но не снимая при этом противоречия, а пользуясь им как
инструментом позитивной науки. В самом деле, Галилей утверждает, что из
лишенных величины элементов (т.е. элементов, строго говоря, бестелесных,
ибо тело - пусть самое наименьшее - всегда имеет величину) можно составить
как угодно большое тело при условии, что этих лишенных величины
составляющих будет бесконечное множество. Таким образом, одно непонятное -
лишенную величины составляющую часть тела - Галилей хочет сделать
инструментом познания с помощью другого непонятного - актуально
существующего бесконечного числа, которого не принимала ни античная, ни
средневековая математика. Последняя, правда, в лице некоторых своих
теоретиков, как, например, Гроссетеста, признавала актуально бесконечное
число, но оговаривала, что оно доступно лишь Богу, а человеческий разум
оперировать этим понятием не в состоянии.
Как видно из рассуждений Галилея, понятие бесконечно малого вводится им
одновременно с понятием бесконечно большого - эти два понятия взаимно
предполагают друг друга, точно так же как это мы видели у Николая
Кузанского.
"Неделимое", или бесконечно малое, Галилея очень похоже на "абсолютный
минимум" Николая Кузанского, а галилеево "бесконечно большое" - на
"абсолютный максимум". И в основе галилеевского построения лежит идея
тождества этих противоположностей, в конечном счете восходящая к тождеству
единого и бесконечного, составляющему центральный принцип учения Кузанца.
Что отождествление Галилеем "бесконечного" и "неделимого" восходит к
совпадению "максимума" и "минимума" Николая Кузанского, нетрудно убедиться
еще на одном примере. Опять-таки с помощью математического рассуждения
Галилей пытается доказать тезис Кузанца о тождестве единого и бесконечного.
Галилей считает само собой разумеющимся, что квадратов целых чисел должно
быть столько же, сколько существует самих этих чисел, так как каждый
квадрат имеет свой корень и каждый корень - свой квадрат. А между тем "всех
чисел больше, чем квадратов, так как большая часть их не квадраты.
Действительно, число квадратов непрерывно и в весьма большой пропорции
убывает по мере того, как мы переходим к большим числам; так, из числа до
ста квадратами являются десять, то есть одна десятая часть; до десяти тысяч
квадратами будут лишь одна сотая часть; до одного миллиона - только одна
тысячная часть. А в отношении бесконечного числа, если бы только мы могли
постичь его, мы должны были бы сказать, что квадратов столько же, сколько
всех чисел".
В результате этого рассуждения Галилей делает неожиданный вывод:
"...продолжая деление и, умножая число частей в предположении приблизиться
к бесконечности, мы на самом деле удаляемся от нее... Мы видели... что чем
к большим числам мы переходим, тем реже попадаются в них квадраты и еще
реже - кубы; отсюда ясно, что, переходя к большим числам, мы все более
удаляемся от бесконечного числа; отсюда можно вывести заключение... что
если какое-либо число должно являться бесконечностью, то этим числом должна
быть единица; в самом деле, в ней мы находим условия и необходимые
признаки, которым должно удовлетворять бесконечно большое число, поскольку
она содержит в себе столько же квадратов, сколько кубов и сколько чисел
вообще".
Это доказательство Галилея, где наиболее наглядно видна глубокая связь его
со способом мышления Николая Кузанского, а именно с его диалектикой
"совпадения противоположностей", опять-таки представляет собой парадокс.
Единица в понимании античных математиков и философов не являлась числом, а
рассматривалась как "начало числа", или "принцип числа"; она есть
математический "представитель" того самого единого, которое, в конечном
счете, непостижимо. Единица, или единое, порождает все числа при соединении
с противоположным ему началом - беспредельным. Ни сама единица, ни
беспредельное не суть числа, как поясняли пифагорейцы: первым числом у них
является тройка (ибо двойка - это тоже еще не число, а символ
беспредельного).
У Галилея, как и у Николая Кузанского, единое и беспредельное оказываются
тождественными, и единица, таким образом, есть бесконечное. При этом
Галилей, подобно Кузанцу, мыслит бесконечность как актуальную. Сам пример,
приведенный Галилеем, представляющий собой утверждение о том, что множество
квадратов равномощно множеству всех натуральных чисел, предвосхищает
положения теории множеств Георга Кантора.
Галилей прекрасно понимает, что понятие актуальной бесконечности не может
быть получено на том пути, на котором мы приходим к понятию бесконечности
потенциальной; то действие, которое мы осуществляем, деля, допустим,
отрезок пополам, затем на четыре части, на восемь частей и т.д. до
бесконечности, никогда не приведет нас к получению актуально бесконечного
множества, ибо "такой процесс постепенного деления конечных величин
необходимо было бы продолжать вечно; достигнуть же таким путем приближения
к неделимым в конечный период времени совершенно невозможно".
Конечная величина, подчеркивает Галилей, не может никогда превратиться в
актуально бесконечную путем постепенного ее увеличения: как замечает
Галилей, идя этим путем, мы удаляемся от актуальной бесконечности. Между
конечным и актуально бесконечным - непереходимый рубеж; как выражается
Галилей, можно обнаружить своеобразное "противодействие природы, которое
встречает конечная величина при переходе в бесконечность". Галилей приводит
и пример такого "противодействия природы": если мы будем увеличивать радиус
круга, то длина окружности будет также увеличиваться, однако это будет
происходить только до тех пор, пока радиус будет оставаться как угодно
большой, но конечной величиной. При переходе к актуально бесконечному
радиусу (когда круг становится "большим из всех возможных") круг исчезает и
на его месте появляется бесконечная прямая. Ясно, продолжает Галилей, что
"не может быть бесконечного круга; отсюда как следствие вытекает, что не
может быть ни бесконечного шара, ни другого бесконечного тела, ни
бесконечной поверхности". Галилеев пример, как видим, заимствован у Николая
Кузанского и должен пояснить то же, что пояснял и Кузанец: принципиальное
различие между потенциальной бесконечностью, которая всегда связана с
конечным (хотя и как угодно большим) числом, телом, временем, пространством
и т.д., и бесконечностью актуальной, которая предполагает переход в иной
род, изменение сущности, а не количества.
Попутно мы можем видеть, почему античная наука, понятия которой были
теснейшим образом связаны со свойствами круга (и в математике, и в физике),
не могла допустить актуальной бесконечности и нашла способы избегать его,
тем самым освобождаясь от парадоксов, неизбежно сопровождающих это понятие.
Коль скоро Галилей вводит понятие актуальной бесконечности, он принимает и
все те следствия, которые с необходимостью вытекают из этого
понятия-парадокса. Так, к понятию актуально бесконечного неприменимы
предикаты "больше", "меньше" или "равно". "...Такие свойства, - говорит
Сальвиати, - как большая или меньшая величина и равенство, неприменимы к
бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность
больше или меньше другой или равна ей". Это почти цитата из Николая
Кузанского, многократно подчеркивавшего, что к бесконечному неприменимы те
определения, которыми пользуется наш рассудок, имея дело с конечными
вещами. При переходе к актуальной бесконечности теряют свою силу все то
допущения и операции, на которых до сих пор стояла математика. Актуально
бесконечные множества, говорит Галилей, содержатся как в отрезке любой
конечной длины, так и в бесконечной линии, - ибо могут ли быть равными
бесконечности? Именно такое допущение делает Сагредо: "На основании
изложенного, - замечает он, - мне кажется, нельзя утверждать не только
того, что одно бесконечное больше другого бесконечного, но даже и того, что
оно больше конечного". Ход мысли здесь понятен:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75